Algebra, Geometry, International Mathematical Olympiads, Recreational Mathematics, Math contests, Puzzles, Brainteasers, Number Theory, Combinatorics, Logic, Paradox
Εγγραφή σε:
Σχόλια ανάρτησης (Atom)
Algebra, Geometry, International Mathematical Olympiads, Recreational Mathematics, Math contests, Puzzles, Brainteasers, Number Theory, Combinatorics, Logic, Paradox
Έχουμε αβγ=1/8 => α^2*β^2*γ^2=1/64, οπότε το πρώτο μέλος της αποδεικτέας ανισότητας γράφεται:
ΑπάντησηΔιαγραφήΑ= α^2+β^2+γ^2+(1/α^2+1/β^2+1/γ^2)/64.
Εφαρμόζοντας τώρα δύο φορές την ανισότητα αριθμητικού - γεωμετρικού μέσου, έχουμε:
(α^2+β^2+γ^2)/3 ≥ 3η ρίζα του (α^2*β^2*γ^2) = 1/4 => α^2+β^2+γ^2 ≥ 3/4 και
(1/α^2+1/β^2+1/γ^2)/3 ≥ 3η ρίζα του 1/(α^2*β^2*γ^2) = 4 => 1/α^2+1/β^2+1/γ^2 ≥ 12.
Επομένως Α ≥ 3/4+12/64 = 15/16 ό.έ.δ.