Δευτέρα, 24 Οκτωβρίου 2016

Η άσκηση της ημέρας (25 - 10 - 2016)

Έστω $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε
$abc = \dfrac {1} {8}$.
Να αποδειχθεί ότι
\[a ^ 2 + β ^ 2 + γ ^ 2 + a ^ 2 β ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + β ^ 2c ^ 2\ge\dfrac{15}{16}\]

1 σχόλιο:

  1. Έχουμε αβγ=1/8 => α^2*β^2*γ^2=1/64, οπότε το πρώτο μέλος της αποδεικτέας ανισότητας γράφεται:
    Α= α^2+β^2+γ^2+(1/α^2+1/β^2+1/γ^2)/64.
    Εφαρμόζοντας τώρα δύο φορές την ανισότητα αριθμητικού - γεωμετρικού μέσου, έχουμε:
    (α^2+β^2+γ^2)/3 ≥  3η ρίζα του (α^2*β^2*γ^2) = 1/4 => α^2+β^2+γ^2 ≥ 3/4 και
    (1/α^2+1/β^2+1/γ^2)/3 ≥  3η ρίζα του 1/(α^2*β^2*γ^2) = 4 => 1/α^2+1/β^2+1/γ^2 ≥ 12.
    Επομένως Α ≥  3/4+12/64 = 15/16 ό.έ.δ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή