Δευτέρα, 24 Οκτωβρίου 2016

Η άσκηση της ημέρας (24 - 10 - 2016)

Nα βρεθεί το πρώτο ψηφίο μετά την υποδιαστολή του αριθμού
$\displaystyle \dfrac1{1009}+\dfrac1{1010}+\cdots + \dfrac1{2016}$

Hong Kong Team Selection Test 2017

2 σχόλια:

  1. Το άθροισμα ισούται με :
    H2016-H1008, όπου Hn o n-οστός αρμονικός αριθμός,ο οποίος είναι ίσος με
    $\int_1^n (1/x) dx =ln(n)$

    Άρα έχουμε
    H2016-H1008=ln(2016)- ln(1008)= =ln(2016/1008)=ln(2)=0.693
    Συνεπώς το ζητούμενο ψηφίο είναι το 6

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Ας μου επιτρέψει ο φίλος να παρατηρήσω ότι ο ln2=0,693.. που υπολόγισε δεν είναι η τιμή του αθροίσματος αλλά ένα άνω φράγμα αυτής της τιμής. Για να έχουμε όμως βεβαιότητα για το πρώτο δεκαδικό ψηφίο του αθροίσματος, δεν αρκεί να ξέρουμε ότι είναι μικρότερο από 0,693.. και θα βοηθούσε ίσως να υπολογίσουμε και κάποιο κάτω φράγμα του αθροίσματος. Σε αυτό θα μπορούσε ίσως να χρησιμεύσει η γνωστή ανισότητα αριθμητικού - γεωμετρικού μέσου μεταξύ των στοιχείων χ και ψ, συγκεκριμένα:
    (χ+ψ)/2 ≥ √(χψ) => (χ+ψ)^2 ≥ 4χψ => (χ+ψ)/χψ ≥ 4/(χ+ψ) => 1/χ+1/ψ  ≥ 4/(χ+ψ) (1).
    Αν εφαρμόσουμε την (1) σε καθένα από τα 503 ζευγάρια κλασμάτων που οι παρονομαστές τους αθροίζονται σε 1009+2016=1010+2015=...=1512+1513=3025 και αθροίσουμε κατά μέλη, θα πάρουμε:
    1/1009+1/1010+.....1/2015+1/2016  ≥ 503*4/3025 = 2012/3025 = 0,665..
    Έτσι, αφού  το άθροισμα 'εγκλωβίζεται' ανάμεσα σε δύο αριθμούς που ξεκινάνε από 0,6, μπορούμε πλέον να είμαστε σίγουροι ότι το πρώτο δεκαδικό του ψηφίο είναι 6.

    ΑπάντησηΔιαγραφή