Τρίτη, 16 Αυγούστου 2016

Tιμή

Να βρεθεί η τιμή της παράστασης
\[\dfrac {(10^{4}+324)(22^{4}+324)(34^{4}+324)(46^{4}+324)(58^{4}+324)}{(4^{4}+324)(16^{4}+324)(28^{4}+324)(40^{4}+324)(52^{4}+324)}\]
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

3 σχόλια:

  1. Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Είναι $324=4\cdot3^4$ και όλοι οι όροι της παράστασης είναι της μορφής:

    $a^4+4\cdot3^2=(p^2)^2+(2\cdot3^2)^2$, $a=10,22,34,...,4,16,28,...) $.

    Όμως $(p^2)^2+(2\cdot3^2)^2=$
    $(p^2)^2+(2\cdot3^2)^2+2p^2\cdot3^2- 2p^2\cdot3^2=$
    $(p^2-6p+18)(p^2+6p+18)=(p(p-6)+18)(p(p+6)+18)$.

    Αν $\dfrac{A}{B}$ η δοθείσα παράσταση τότε:

    $A=(10(10-6)+18)(10(10+6)+18)(22(22-6)+18)$
    $(22(22+6)+18)(34(34-6)+18)(34(34+6)+18)$
    $(46(46-6)+18)(46(46+6)+18)$ $(58(58-6)+18)(58(58+6)+18)=$

    $=(10(4)+18)(10(16)+18)(22(16)+18)(22(28)+18)$
    $(34(28)+18)(34(40)+18)(46(40)+18)(46(52+18)$
    $(58(52)+18)(58(64)+18)$

    $B=(4(4-6)+18)(4(4+6)+18)(16(16-6)+18)$
    $(16(16+6)+18)(28(28-6)+18)(28(28+6)+18)$
    $(40(40-6)+18)(40(40+6)+18)(52(52-6)+18)$
    $(52(52+6)+18)=$

    $=(4(-2)+18)(4(10)+18)(16(10)+18)(16(22)+18)$
    $(28(22)+18)(28(34)+18)$ $(40(34)+18)$
    $(40(46)+18)(52(46)+18)(52(58)+18)$

    Παρατηρούμε ότι σχεδόν όλοι οι όροι αριθμητή-παρονομαστή απαλείφονται και απομένει:

    $\dfrac{A}{B}=\dfrac{58\cdot64+18}{-8+18}=\dfrac{3730}{10}=373$

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Διόρθωση πληκτρολογικού λάθους. Αντί του:
      $(p2)^2+(2⋅3^2)^2+2p^2⋅3^2-2p^2⋅3^2=$
      το σωστό είναι:
      $(p2)^2+(2⋅3^2)^2+2p^2⋅2 \cdot3^2-2p^2\cdot2 \cdot3^2=$
      $(p^2+18)^2-(6p)^2=$

      Διαγραφή