Πέμπτη, 11 Αυγούστου 2016

f(0)+f(8)=?

Έστω πολυώνυμο $f$ 7ου βαθμού τέτοιο ώστε
\[f(1) =2\]
\[f(2) =5\]
\[f(3) =10\]
\[f(4) =17\]
\[f(5) =26\]
\[f(6) =37\]
\[f(7) =50\]
Ποια η τιμή
\[f(0)+f(8)\]
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

3 σχόλια:

  1. Η σχέση μεταξύ των τιμών της πολυωνυμικής συνάρτησης είναι: f(ν)=f(ν-1)+[f(ν-1)-f(ν-2)]+2 για ν φυσικό αριθμό.
    Έχουμε f(2)=f(1)+[f(1)-f(0)]+2
    5=2+2-f(0)+2 ισοδύναμα f(0)=6-5=1
    f(8)=f(7)+[f(7)-f(6)]=2=50+13+2=65
    Άρα f(0)+f(8)=65+1=66

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Θεωρώντας f(0)=1 και αντικαθιστώντας τις τιμές που δίνει η άσκηση στο γενικό τύπο της πολυωνυμικής συνάρτησης, προκύπτει ένα σύστημα εξισώσεων 7x7 με άγνωστους τους συν/στές του πολυωνύμου. Επιλύοντάς το βρίσκουμε ότι το πολυώνυμο είναι το x^2+1, το οποίο είναι 2ου βαθμού και όχι 7ου ????????????

      Διαγραφή
  2. Και μια ακόμα λύση νομίζω σωστή:
    Θέτω g (x)=f (x)-(x^2+1)
    Τότε η g είναι 7ου βαθμού και τα 1,2,3,4,5,6,7 είναι ρίζες τιςg αρα g (x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)
    Οπότε f (x)=x^2+1+(x-1)(x-2).... (x-7)
    Άρα f (0)=1-7! και f (8)=65+7! Συνεπώς f (0)+f (8)=66

    ΑπάντησηΔιαγραφή