Τετάρτη, 3 Αυγούστου 2016

Εγγεγραμμένο πεντάγωνο

Έστω πεντάγωνο $ABCDE$ εγγεγραμμένο σε κύκλο τέτοιο ώστε $AB = BC$ και $CD = DE$. 
Αν
$P = AD ∩ BE$
$Q = AC ∩ BD$
$R = BD ∩ CE$
να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο $PQR$ είναι ισοσκελές.
Harvard-MIT Mathematics Tournament 2008

1 σχόλιο:

  1. Tο τετράπλευρο $EDRP$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο.
    διότι $\angle PER \equiv \angle BEC=\angle ADB$ $\equiv \angle PDR$, οπότε:

    $\angle PRE=\angle PDE \equiv \angle ADE= \angle ACE \Rightarrow$ $ \boxed{PR//QC}\ (1)$

    Ομοίως και το τετράπλευρο $APQB$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο,
    αφού $\angle PAQ \equiv \angle DAC= \angle EBD \equiv \angle PBQ$, οπότε:

    $\angle AQP=\angle ABP$ $ \equiv \angle ABE=$ $\angle ACE \Rightarrow $ $\boxed{PQ//RC}\ (2)$

    Από $(1)$ και $(2)$ έχουμε ότι το $PRCQ$ είναι παραλληλόγραμμο.
    Αρκεί να δείξουμε ότι είναι ρόμβος.
    $\angle RQC=$ τόξο $(AB+CD)/2 =$ τόξο $(BC+ED)/2 =$ $\angle QRC$
    και το ζητούμενο έπεται άμεσα.

    ΑπάντησηΔιαγραφή