Τετάρτη, 3 Αυγούστου 2016

$Α^2=?$

Αν $Α$ είναι το άθροισμα των απόλυτων τιμών των ριζών της εξίσωσης
$x = \sqrt{19} + \dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{x}}}}}}}}}$
να βρεθεί το $Α^2$.
1991 AIME, Problem 7

1 σχόλιο:

  1. Έστω $f(x)=\sqrt{19}+\frac{91}{x}$ τοτε $x=f(f(f(f(f(x)))))$ δηλαδή $f(x)=f(f(f(f(f(f(x))))))$ άρα $f(x)=x$ επομένως $x=\sqrt{19}+\frac{91}{x}$ και καταλήγουμε στην εξίσωση $x^{2}-\sqrt{19}x-91=0$ που έχει ρίζες τις $x=\pm \frac{\sqrt{19}\pm \sqrt{383}}{2}$ άρα το άθροισμά τους βγάζει $A^{2}=383$

    ΑπάντησηΔιαγραφή