Κυριακή, 3 Ιουλίου 2016

Ανισοτική με ολοκλήρωμα

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο $R$. Αν η $f$ είναι γνησίως αύξουσα και $f(0)=0$, να αποδειχθεί ότι
$\int_{0}^{1}f(x)f'(x)dx\geq \frac{1}{2}\left(\int_{0}^{1}f(x)dx\right)^{2}.$

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

2 σχόλια:

  1. Εφ'όσον f(x) είναι παραγωγίσιμη θα είναι και συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού της.
    Από την υπόθεση έχουμε f(x)γνησίως αύξουσα δηλαδή f'(x)>0 και f(0)=0, συνεπώς για x>0 το f(x) >0.
    Ολοκλήρωμα 0^1 f(x) f'(x) dx>=1/2((Ολοκλήρωμα 0^1 f(x) dx)^2)
    f(1)^2/2>=1/2((Ολοκλήρωμα 0^1 f(x) dx)^2)
    f(1)>=Ολοκλήρωμα 0^1 f(x) dx.(1)
    Για 0<x<1 ισχύει 0<f(x)<f(1) (3) (f(x) γνησίως αύξουσα),το f(1) επίσης γράφεται f(1)=Ολοκλήρωμα 0^1 f(1)dx (2).
    Η σχέση (1) ισχύει,διότι λόγω της (2), το f(1)είναι ίσο με το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της σταθερής συνάρτησης y=f(1),τον θετικό ημιάξονα και τις ευθείες x=0 και x=1,είναι δε μεγαλύτερο (λόγω της (3)) από το αντίστοιχο εμβαδόν του χωρίου της γραφικής παράστασης της f(x) (δεύτερο μέλος της (1).

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Συμπληρωματικά αναφέρουμε ότι η ισότητα στη σχέση (1) ισχύει για x=1

    ΑπάντησηΔιαγραφή