Τρίτη, 5 Ιουλίου 2016

Περιστροφή γραφήματος (για φίλους του απειροστικού Λογισμού)

Περιστρέφουμε κατά $45^0$ γύρω από κάποιο σημείο το γράφημα της συνάρτησης
$y = χ^3 + αχ^2 + 19χ + 97$. 
Το γράφημα που προκύπτει παριστά μια συνάρτηση $y = f(x)$ (δηλαδή, κάθε τιμή τού χ αντιστοιχεί σε μία μοναδική τιμή του $y$). 
Βρείτε όλα τα $α$ για τα οποία αυτό είναι αληθές. 

2 σχόλια:

  1. Εστω Oxy ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο.Για λόγους απλούστευσης υπολογισμών θεωρούμε τον γεωμετρικό μετασχηματισμό της περιστροφής του γραφήματος περί την αρχή των αξόνων Ο.
    Θα μπορούσε βέβαια το πρόβλημα να επιλυθεί και με περιστροφή του γραφήματος ως προς οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου.
    Θεωρούμε τις εξισώσεις μετασχηματισμού των συντεταγμένων: x'=0.707 (x-y), y'=0.707(x+y),όπου x' y' οι συντεταγμένες των σημείων του γραφήματος που έχει περιστραφεί και x,y αυτές του αρχικού.Αντικαθιστώντας στο σύστημα των εξισώσεων όπου y=x^3+ax^2+19x+97 παίρνουμε τις παραμετρικές εξισώσεις ως προς x του γραφήματος στη νέα θέση, αυτές είναι:x'=-0.707 (x^3+ax^2+18x+97) και y'=0.707(x^3+ax^2+20x+97).
    Προκειμένου η y'= f(x') να αναπαριστά εξίσωση συνάρτησης θα πρέπει σε κάθε τιμή του x' να αντιστοιχεί μια τιμή του y'.
    Συνεπώς από την παραμετρική εξίσωση του νέου γραφήματος x'=-0.707 (x^3+ax^2+18x+97) θα πρέπει για διαφορετικές τιμές του x να παίρνουμε διαφορετικές τιμές του x'.
    Για να συμβαίνει αυτό θα πρέπει η συνάρτηση
    g(x)=x^3+ax^2+18x+97 να είναι γνησίως μονότονη σε όλο το πεδίο ορισμού της.
    Έχουμε (x^3+ax^2+18x+97)'=3x^2+2ax+18,άρα θα πρέπει
    το 3x^2+2ax+18 να έχει σταθερό πρόσημο το R, από τη θεωρία τριωνύμου ξέρουμε ότι αυτό γίνεται μόνο όταν Δ<=0 (στην περίπτωσή μας το πρόσημο του τριωνύμου είναι θετικό).
    Έχουμε 4a^2-4*3*18<=0, a^2<=54,
    -3sqrt(6)<= a<= 3sqrt(6).

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Σημείωση: H συνάρτηση g(x) θα πρέπει να είναι γνησίως μονότονη αλλά με το ίδιο είδος μονοτονίας σε όλο το πεδίο ορισμού της.

    ΑπάντησηΔιαγραφή