Πέμπτη, 21 Ιουλίου 2016

«Ενδιαφέρουσες» τετράδες

Η τετράδα θετικών ακέραιων $(a, b,c,d)$ λέγεται «ενδιαφέρουσα», αν οι αριθμοί 
$a^2,b^2, c^2, d^2+l$ 
με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας αριθμητικής προόδου. 
α) Βρείτε μία τουλάχιστον «ενδιαφέρουσα» τετράδα. 
β) Ο αριθμός όλων των τετράδων που είναι «ενδιαφέρουσες» είναι πεπερασμένος ή άπειρος; 
Να εξηγήσετε την απάντησή σας.
11η Μεσογειακή Μαθηματική Ολυμπιάδα 2008

4 σχόλια:

  1. $a=1,b=5,c=7,d=8,l=9$
    $1=1^2,1+24=25=5^2,25+24=49=7^2,$ $49+24=73=8^2+9$
    λόγος προόδου $24$

    $a=2,b=10,c=14, d=16, l=36=2^2*9$
    $2^2=4,4+96=100=10^2,100+96=196=14^2,$ $196+96=292=16^2+36$
    λόγος προόδου $24*2^2=96$

    $a=3,b=15,c=21,d=24,l=81=3^2*9$
    $3^2=9,9+216=225=15^2,$ $225+216=441=21^2,$ $441+216=657=24^2+81$
    λόγος προόδου $24*3^2=216$

    $(a=4,b=20,c=28,d=32,l=4^2*9=144$
    $4^2=16,16+384=400=20^2,$ $400+384=784=28^2,$ $784+384=1168=32^2+144$
    λόγος προόδου $24*4^2=384$
    .............................................................
    Λόγω της αναλογικότητας των τιμών εικάζω ότι ο αριθμός των τετράδων που είναι “ενδιαφέρουσες” είναι άπειρος και μόνον από αυτή την “οικογένεια” αριθμών.
    Βέβαια χρειάζεται επαγωγική απόδειξη, αλλά αυτή την ώρα δεν έχω άλλα κουράγια, γιαυτό ες αύριον τα ...σπουδαία.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Όπου λόγος της προόδου, προφανώς, διαφορά της προόδου.

      Παρατηρούμε ότι για $a_n=n,b_n=5n, c_{n}=7n,d_{n}=8n$ και $l=9n^2, n=1,2,3,...$ έχουμε:
      $a_{n}^2=n^2, b_{n}=25n^2,c_{n}^2=49n^2$ και $d_{n}^2=64n^2+9n^2=73n^2$ που είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με διαφορά $24n^2$,
      οπότε επειδή οι τιμές που μπορεί να πάρει το $n$ είναι άπειρες, άπειρος θα είναι και ο αριθμός των παραπάνω “ενδιαφερουσών” τετράδων.

      Διαγραφή
    2. Ευθύμη καλησπέρα
      Μια διόρθωση εκ παραδρομής:
      b^2n=25n^2
      και όχι:
      bn=25n^2

      Διαγραφή
    3. Γεια σου Κάρλο
      Σωστά. Προφανώς, μου ξέφυγε...

      Διαγραφή