Δευτέρα, 4 Ιουλίου 2016

Τραπέζια και πετσέτες

'Ενα καφενείο έχει στρογγυλά και τετράγωνα τραπέζια. Τα όμοιου σχήματος τραπέζια έχουν ίδιο μέγεθος. Κάθε στρογγυλό τραπέζι καλύπτεται τελείως από τέσσερις τετράγωνες πετσέτες ίδιου μεγέθους, και κάθε τετράγωνο τραπέζι καλύπτεται τελείως από τέσσερις όμοιες στρογγυλές πετσέτες. 
Αποδείξτε ότι η διάμετρος μιας στρογγυλής πετσέτας είναι μεγαλύτερη από ή ίση με το μισό της διαγωνίου των τετράγωνων τραπεζιών και ότι το μήκος της πλευράς μιας τετράγωνης πετσέτας είναι μεγαλύτερο ή ίσο της ακτίνας των στρογγυλών τραπεζιών. 
V. Proizvolov

1 σχόλιο:

  1. Για τα στρόγγυλα τραπέζια
    Το ελάχιστο τετράγωνο που καλύπτει ένα στρόγγυλο τυπικό τραπέζι είναι το περιγεγραμμένο τετράγωνο, άρα εμβαδού τουλάχιστον $2R\cdot 2R=4R^2$, άρα, ισοδύναμα, τέσσερις πετσέτες πλευράς τουλάχιστον $R$

    Για τα τετράγωνα τραπέζια.
    Ας είναι $ABCD$ ένα τυπικό τραπέζι, $AC,BD$ οι διαγώνιοι του, $O \equiv AC\cap BD$ και $S$ ένα τυχαίο σημείο του τραπεζιού.
    Είναι $OA=OB=OC=OB=$ το μισό της διαγωνίου.
    Είναι φανερό ότι απαιτούνται τέσσερις κυκλικές πετσέτες διαμέτρου $OA,OB,OC,OD$ (δηλαδή το μισό της διαγωνίου), για να καλύψουν το τραπέζι και αυτή είναι η “οικονομικότερη” λύση για πετσέτες που διέρχονται ή καλύπτουν το $O$. Θα δείξω ότι αυτή είναι “οικονομικότερη” λύση σε σχέση με πετσέτες που διέρχονται από το τυχαίο σημείο $S$.
    Είναι $AS+SC \geq AC \Rightarrow$ $AS\ or\ SC\ or\ AS=SC>\dfrac{AC}{2}$ και $BS+SD \geq BD\Rightarrow$ $BS\ or\ SD\ or\ BS=SD>\dfrac{BD}{2}$ και το ζητούμενο έπεται.

    ΑπάντησηΔιαγραφή