Θεωρούμε τη συνάρτηση $f: R \rightarrow{R}$ με
$f(x)=x^4-\frac{9}{2}x^3 +6x^2 +m $, $m\in{R}$
και σημείο αυτής $M(x_0, f(x_0))$ με $f'(x_0)=0$
Να δειχθεί ότι από το σημείο αυτό διέρχονται τρεις εφαπτόμενες προς τη γραφική παράσταση της $f$.
(Gaston Aligniac: Thèmes Mathématiques)
Πηγή: Η Στήλη των Μαθηματικών (Κώστας Δόρτσιος, τ. Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών)
f(x)=x^4-9/2 x^3+6x^2+m
ΑπάντησηΔιαγραφήf'(x)=4x^3-27/2 x^2+12x=x(4x^2-27/2 x+12)
f'(x)=0 έχουμε x=0 ή (4x^2-27/2 x+12)=0 η οποία είναι αδύνατη στο R (Δ<0).
Συνεπώς το σημείο Μ είναι το σημείο (0,m)
H εξίσωση εφαπτομένης της f(x) στο σημείο (x0,f(x0))είναι: y-f(x0)=f'(x0)(x-x0), για να διέρχεται εφαπτομένη της f(x) από το σημείο (0,m),θα πρέπει για x=0 και f(x0)=m να ισχύει
m-f(x0)=f'(x0)(0-x0)
m-(x0^4-9/2 x0^3+6x0^2+m)=(4x0^3-27/2 x0^2+12x0)(0-x0)
-x0^4+9/2 x0^3-6x0^2=-4x0^4+27/2 x0^3-12x0^2
3x0^4-9x0^3+6x0^2=0
3x0^2(x0^2-3x0+2)=0
x01=0 ή x02=2 ή x03=1
Συνεπώς απ'το σημείο (0,m) διέρχονται τρεις εφαπτομένες προς τη γραφική παράσταση της f(x) στα σημεία (0,f(0)),(2,f(2)),(1,f(1)).
Tα σημεία αυτά είναι τα: (0,m),(2,(4+m)),(1,5/2 + m).
Οι αντίστοιχες εξισώσεις των εφαπτομένων στα πιο πάνω σημεία είναι:
στο (0,m)με f'(0)=0 y-m=0(x-0) y=m
στο (2,(4+m))με f'(2)=2 y-(4+m)=2(x-2) y=2x+m
στο (1,5/2 + m)με f'(1)=5/2 y-(5/2 +m)=5/2 (x-1) y=5/2 x+m