Παρασκευή, 22 Ιουλίου 2016

Μπανάνες και καρύδες

Δύο πίθηκοι μπήκαν $3$ φορές σε οπωρώνα και συγκέντρωσαν ισάριθμες ποσότητες από μπανάνες και καρύδες, ετοιμάζονται για το φαγοπότι αλλά βλέπουν τον ιδιοκτήτη να τους πλησιάζει με το μπαστούνι.
Υπολογίζουν ότι για να τους φτάσει θα περάσουν $2\dfrac{2}{3}$ λεπτά. Τρώνε με λαιμαργία, ο πρώτος που τρώει $10$ καρύδες στο λεπτό, τις τρώει όλες στα $\dfrac{2}{3}$ αυτού του χρόνου και βοηθά το φίλο του να φάει τις μπανάνες, προλαβαίνουν στο παρά πέντε.
Ο πρώτος καταναλώνει τις μπανάνες $2$ φορές πιο γρήγορα από ότι τις καρύδες. Με πόση ταχύτητα ο δεύτερος τρώει τις μπανάνες;

3 σχόλια:

  1. Νομίζω ότι υπάρχει πρόβλημα με τον χρόνο που φτάνει ο ιδιοκτήτης αφου σε $\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{8}{3}=\dfrac{16}{9}$ λεπτά, ο πρώτος πίθηκος τρώει $10\cdot \dfrac{16}{9}=$ $\dfrac{160}{9}=17\dfrac{7}{9}$ καρύδες, άτοπο πρέπει να προκύπτει ακέραιος αριθμός.
    Αν ο χρόνος, σε δευτερόλεπτα, για να φτάσει ο ιδιοκτήτης είναι $120+x$ τότε ο πρώτος πίθηκος τρώει $\dfrac{10}{60}\cdot \dfrac{2}{3}\cdot (120+x)=$ $\dfrac{x+120}{9}$, άρα $x=6$ ή $x=15$ ή $x=24$ ή $x=33$ ή $x=42$ ή $x=51$ δευτερόλεπτα, για να προκύπτει ακέραιος αριθμός από καρύδες, άρα και μπανάνες.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Για $x=6$ δευτ., άρα $126$ δευτ. ο χρόνος μέχρι να έλθει ο ιδιοκτήτης. έφαγε $\dfrac{126}{9}=14$ καρύδες σε $\dfrac{2}{3}*126=84$ δευτερ. Απομένει χρόνος $126-84=42$ δευτ., αλλά επειδή πρόλαβαν στο παρά $5$ άρα $42-5=37$ δευτ., οπότε σε αυτό το χρόνο έφαγε $\dfrac{37}{60}\cdot 20=\dfrac{37}{3}=12\dfrac{1}{3}$ μπανάνες, άρα ο δεύτερος πίθηκος έφαγε $14-12\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{3}$ μπανάνες σε $121$ δευτ., συνεπώς η ταχύτητα του δεύτερου πιθήκου είναι $\dfrac{\frac{5}{3}}{\frac{121}{60}}=\dfrac{100}{121}$ μπανάνες/λεπτό.

      Αντίστοιχα δουλεύουμε για όποιον χρόνο από τους υπόλοιπους $120+15=135$ δευτ. $=2\dfrac{1}{4}$ λεπτά ή $120+24=144$ δευτ. $=2\dfrac{2}{5}$ λεπτά, ή ...κλπ μας δοθεί.

      Διαγραφή

  2. Ξανακοιτάζοντας το πρόβλημα, κατέληξα ότι δεν είναι και υποχρεωτικό να είναι ακέραιος ο αριθμός των φρούτων οπότε έχουμε:

    Χρόνος μέχρι να φτάσει ο ιδιοκτήτης $\dfrac{8}{3}\cdot 60=160$ δευτερόλεπτα. Στα $\dfrac{2}{3}$ αυτού του χρόνου έφαγε $ \dfrac{2}{3}\cdot160 \cdot \dfrac{10}{60}=17\dfrac{7}{9}$ καρύδες. Στον υπόλοιπο χρόνο $\dfrac{1}{3}\cdot 160-5=\dfrac{145}{3}$ δυτερόλεπτα έφαγε $\dfrac{145}{3}\cdot \dfrac{20}{60}=16\dfrac{1}{9}$ μπανάνες, άρα τις υπόλοιπες $17\dfrac{7}{9}-16\dfrac{1}{9}=\dfrac{5}{3}$ μπανάνες (πάλι ο ίδιος αριθμός!) τις έφαγε ο άλλος πίθηκος σε χρόνο $160-5=155$ δευτερόλεπτα, άρα η ταχύτητα του είναι $\dfrac{\frac{5}{3}}{\frac{155}{60}}=\dfrac{20}{31}$ μπανάνες /λεπτό (απελπιστικά αργός σε κάθε περίπτωση ο δεύτερος)

    ΑπάντησηΔιαγραφή