Τετάρτη, 13 Ιουλίου 2016

Τι ώρα είναι;

O μεγάλος δείκτης ενός ρολογιού δείχνει ακριβώς σε ένα ολόκληρο λεπτό, ενώ ο μικρός δείκτης βρίσκεται ακριβώς δύο λεπτά πίσω. 
Τι ώρα είναι;

8 σχόλια:

  1. Με βάση τα δεδομένα ο λεπτοδείκτης (μεγάλος δείκτης) βρίσκεται στη θέση $4$ κάποιου πεντάλεπτου και ο ωροδείκτης στην θέση $2$ αυτού του πεντάλεπτου, δηλαδή στα $\dfrac{2}{5}$ αυτής της ώρας, οπότε ο λεπτοδείκτης θα βρίσκεται στα $\dfrac{2}{5}$ του εξηντάλεπτου, ήτοι θα δείχνει $\dfrac{2}{5}\cdot 60=24$ λεπτά. Άρα η ώρα είναι $4:24:00$

    (Θεώρησα ότι "ακριβώς" είναι τα $5,10,15,...,60$ λεπτά.)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. κ. Αλεξίου, η εκφώνηση στα αγγλικά είναι: The long hand of a very accurate timepiece points exactly at a full minute, while the short hand is exactly two minutes away. What time is it?

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Ευχαριστώ κ. Ρωμανίδη. Δεν “διάβασα” σωστά τα δεδομένα.
    Μία “μπακάλικη” λύση μπορεί να είναι η παρακάτω:
    Όταν ο ωροδείκτης βρίσκεται στο $0$ ενός πενταλέπτου ο λεπτοδείκτης θα βρίσκεται στο $\dfrac{0}{5}\cdot 60=0 (0=0+0)$, άτοπο και απορρίπτεται.
    Όταν ο ωροδείκτης βρίσκεται στο $1$ ενός πενταλέπτου ο λεπτοδείκτης θα βρίσκεται στο $\dfrac{1}{5}\cdot 60=12 (2=1+1)$, άτοπο και απορρίπτεται.
    Όταν ο ωροδείκτης βρίσκεται στο $2$ ενός πενταλέπτου ο λεπτοδείκτης θα βρίσκεται στο $\dfrac{2}{5}\cdot 60=24$ αυτού του $60$λεπτου $(4=2+2)$, δεκτό. Άρα $4:24:00$ μια λύση.
    Όταν ο ωροδείκτης βρίσκεται στο $3$ ενός πενταλέπτου ο λεπτοδείκτης θα βρίσκεται στο $\dfrac{3}{5}\cdot 60=36 (6=3+3)$ αυτού του $60$λεπτου, άτοπο και απορρίπτεται.
    Όταν ο ωροδείκτης βρίσκεται στο $4$ ενός πενταλέπτου ο λεπτοδείκτης θα βρίσκεται στο $\dfrac{4}{5}\cdot 60=48 (8=4+4)$, αυτού του $60$λεπτου, άτοπο και απορρίπτεται.

    Άρα μοναδική λύση $4:24:00$, όπως από τυχαία σύμπτωση βρήκα την πρώτη φορά

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Αλλιώς, χωρίς "μπακάλη"!
    Αν $a$ οι ώρες και $x$ το "ολόκληρο λεπτό" του $5$-λεπτου $(x=1,2,3,4,5)$ που δείχνει ο ωροδείκτης τότε:

    $a\cdot60+\dfrac{x}{5}\cdot60=60a+5a+(x+2)$

    $\Rightarrow x=\dfrac{5a+2}{11}$, με ακέραιες λύσεις $\boxed{a=4,x=2}$

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Στην παραπάνω λύση λείπει ένα βήμα. Θα το προσθέσω αργότερα, τώρα πρέπει να φύγω από το σπίτι μου.

      Διαγραφή
    2. $60a+\dfrac{x}{5}\cdot60=60a+5y+(x+2)$ $\Rightarrow \dfrac{x}{5}\cdot60=5y+(x+2)$ $\Rightarrow y=\dfrac{11x-2}{5}$ $\Rightarrow (x=2, y=4)$, οπότε $5y+x+2=5\cdot4+2+2=24$ $\Rightarrow a=4$ και η ώρα είναι $4:24:00$

      Διαγραφή
    3. Στην περίπτωση του αγγλικού κειμένου (“away”) επιπλέον έχουμε:
      $60a+\dfrac{x}{5}\cdot60=60a+5y+(x-2)$
      $\Rightarrow \dfrac{x}{5}\cdot60=5y+(x-2)$
      $\Rightarrow y=\dfrac{11x+2}{5}\Rightarrow$ $(x=3, y=7)$,
      άρα η ώρα είναι $7:36:00 (36=35+1)$,
      ο λεπτοδείκτης βρίσκεται στο $1$ λεπτό μετά τα $35$ λεπτά
      και ο ωροδείκτης στο $7+\dfrac{3}{5}$
      $\left(\dfrac{3}{5}\cdot60=36\ \wedge\ 3-1=2\right)$ δεκτό.

      Διαγραφή
  5. Η αγγλική εκφώνηση δεν αποκλείει νομίζω την περίπτωση να είναι ο ωροδείκτης 2 λεπτά μπροστά από τον λεπτοδείκτη, οπότε πρέπει να διακρίνουμε περιπτώσεις.
    Έστω ότι το ζητούμενο συμβαίνει την ώρα χ και ψ λεπτά, όπου χ,ψ ακέραιοι, με 0≤χ≤11 και 0≤ψ≤59.
    Την ώρα αυτή, ο ωροδείκτης, κινούμενος με γωνιακή ταχύτητα 1/2 μοίρες/λεπτό, θα έχει διανύσει ½*(60χ+ψ) = 30χ+ψ/2 μοίρες (μετά τις 00:00), ενώ ο λεπτοδείκτης, κινούμενος με γωνιακή ταχύτητα 6 μοίρες/λεπτό, θα έχει διανύσει χ πλήρεις κύκλους και κλάσμα κύκλου ίσο με 6ψ μοίρες.
    Δεδομένου ότι μια διαφορά 2 λεπτών στο καντράν αντιστοιχεί σε 2*6=12 μοίρες, θα έχουμε:
    Α) ωροδείκτης πίσω από το λεπτοδείκτη:
    6ψ-(30χ+ψ/2)=12 => χ=(11ψ-24)/60 => χ=4, ψ=24 (ώρα 4:24)
    Β) ωροδείκτης μπροστά από το λεπτοδείκτη
    30χ+ψ/2-6ψ=12 => χ=(11ψ+24)/60 => χ=7, ψ=36 (ώρα 7:36)

    ΑπάντησηΔιαγραφή