Τρίτη, 26 Ιουλίου 2016

3 - Η Γεωμετρία των Δεικτών του Ρολογιού

Υπάρχουν χρονικές στιγμές που ο μεγάλος δείκτης συμπίπτει με το δευτερολεπτοδείκτη, ενώ ο μικρός είναι σε ευθεία γωνία με τους άλλους δύο;

2 σχόλια:

  1. Ο ωροδείκτης κινείται με ταχύτητα $0.5°/min$ και ο λεπτοδείκτης με ταχύτητα $6°/min$
    Έστω ότι το ζητούμενο συμβαίνει την ώρα $x$ και $y$ λεπτά, με $0≤x≤11$ και $0≤y<60$.
    Την ώρα αυτή, ο ωροδείκτης, κινούμενος με γωνιακή ταχύτητα $0.5°/min$, θα έχει διανύσει $0.5⋅(60x+y)=30x+0.5y$ μοίρες (μετά τις $00:00$), ενώ ο λεπτοδείκτης, κινούμενος με γωνιακή ταχύτητα $6°/min$, θα έχει διανύσει $x$ πλήρεις κύκλους και κλάσμα κύκλου ίσο με $6y$ μοίρες.
    Δεδομένου ότι η διαφορά ωροδείκτη και λεπτοδείκτη είναι $180°$ έχουμε:

    A) Ο ωροδείκτης πίσω από το λεπτοδείκτη:
    $6y−(30x+0.5y)=180 \Rightarrow$ $y=\dfrac{60(x+6)}{11}$
    Για να συμπίπτει ο δευτερολεπτοδείκτης με τον μικρό δείκτη πρέπει και αρκεί να υπάρχει ακέραιος $k$ τέτοιος ώστε:
    $\dfrac{60(x+6)}{11}⋅60=$ $60k+\dfrac{60(x+6)}{11}⇒$
    $\dfrac{60(x+6)}{11}⋅59=60k\Rightarrow$
    $11k=59(x+6), x=0,1,2,..,5$
    Ο $59$ πρώτος αριθμός, άρα ο $11$ πρέπει να διαιρεί τον $x+6$ και αυτό συμβαίνει για $x=5$, όμως για $x=5$ είναι $y=60$, δηλαδή μόνο στις $5:00$ όπου όμως έχουμε γωνία $210°$
    Άρα σε καμμία χρονική στιγμή δεν θα συμβεί το ζητούμενο σε αυτή την περίπτωση.

    B) Αντίστοιχα για ωροδείκτη μπροστά από λεπτοδείκτη έχουμε:
    $(30x+0.5y)−6y=180⇒$ $y=\dfrac{60(x−6)}{11}$
    και για να συμπίπτει ο δευτερολεπτοδείκτης με τον ωροδείκτη:
    $\dfrac{60(x−6)}{11}⋅60=$ $60k+\dfrac{60(x−6)}{11}\Rightarrow$
    $\dfrac{60(x−6)}{11}⋅59=60k⇒$
    $11k=59(x-6), x=6,7,8,..,11$
    Για να διαιρεί ο $11$ διαιρεί τον $x-6$ μόνο για $x=6$ και τότε είναι $y=0$, δηλαδή στις $6:00$ και η γωνία είναι $180°$, δεκτό.

    Άρα μόνο στις $6:00$ συμβαίνει το ζητούμενο του προβλήματος.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. ΔΙΟΡΘΩΣΗ: Αντί του "Για να συμπίπτει ο δευτερολεπτοδείκτης με τον μικρό δείκτη"
      να διαβασθεί: "Για να συμπίπτει ο δευτερολεπτοδείκτης με τον μεγάλο δείκτη"

      Διαγραφή