Πέμπτη, 21 Ιουλίου 2016

1 - Η Γεωμετρία των Δεικτών του Ρολογιού

Υπάρχουν χρονικές στιγμές που ο μικρός δείκτης συμπίπτει με το δευτερολεπτοδείκτη, ενώ ο μεγάλος είναι σε ευθεία γωνία με τους άλλους δύο;

1 σχόλιο:

  1. Ο ωροδείκτης κινείται με ταχύτητα $0.5°/min$ και ο λεπτοδείκτης με ταχύτητα $6°/min$
    Έστω ότι το ζητούμενο συμβαίνει την ώρα $x$ και $y$ λεπτά, με $0≤x≤11$ και $0≤y<60$.
    Την ώρα αυτή, ο ωροδείκτης, κινούμενος με γωνιακή ταχύτητα $0.5°/min$ , θα έχει διανύσει $0.5\cdot (60x+y)$ = $30x+0.5y$ μοίρες (μετά τις 00:00), ενώ ο λεπτοδείκτης, κινούμενος με γωνιακή ταχύτητα $6°/min$, θα έχει διανύσει $x$ πλήρεις κύκλους και κλάσμα κύκλου ίσο με $6y$ μοίρες.
    Δεδομένου ότι η διαφορά ωροδείκτη και λεπτοδείκτη είναι $180°$ έχουμε:

    $A)$ Ο ωροδείκτης πίσω από το λεπτοδείκτη:
    $6y-(30x+0.5y)=180 =>$ $y=\dfrac{60(x+6)}{11}$
    Για να συμπίπτει ο δευτερολεπτοδείκτης με τον μικρό δείκτη πρέπει και αρκεί να υπάρχει ακέραιος $k$ τέτοιος ώστε:
    $\dfrac{60(x+6)}{11}\cdot 60=$ $60k+\dfrac{60(x+6)}{11}-30\Rightarrow $ $\dfrac{60(x+6)}{11}\cdot 59=60k-30 \Rightarrow$ $118(x+6)=22k-11$, που είναι άτοπο, άρτιος = περιττός

    $B)$ Αντίστοιχα για ωροδείκτη μπροστά από λεπτοδείκτη εχουμε:
    $(30x+0.5y)-6y=180\Rightarrow$ $y=\dfrac{60(x-6)}{11}$
    και για να συμπίπτει ο δευτερολεπτοδείκτης με τον ωροδείκτη:
    $\dfrac{60(x-6)}{11}\cdot 60=$ $60k+\dfrac{60(x-6)}{11}+30\Rightarrow$ $\dfrac{60(x-6)}{11}\cdot 59=60k+30 \Rightarrow $ $ 118(x-6)=22k+11$, επίσης άτοπο, άρτιος=περιττός.

    Άρα δεν υπάρχουν τέτοιες χρονικές στιγμές.

    ΑπάντησηΔιαγραφή