Πέμπτη, 2 Ιουνίου 2016

Τι ωραία ερώτηση!

Έστω $P(x)$ ένα πολυώνυμο με πραγματικούς μη μηδενικούς συντελεστές. Αντικαθιστούμε τους συντελεστές του $P(x)$ με τον μέσο όρο των συντελεστών του και σχηματίζουμε ένα άλλο πολυώνυμο $Q(x)$. 
Ποιο από τα παραπάνω θα μπορούσε να είναι γράφημα της $y=P(x)$ και $y=Q(x)$, στο διάστημα $-4 \leq x \leq 4 $;
2002 AMC 12A

2 σχόλια:

  1. Αν P(x)=avx^v+av-1x^v-1+...+a0
    τότεQ (x)=(av+av-1+...a0)/v•(x^v+x^v-1+...+1)
    Άρα P (1)=Q (1)=av+av-1+...+a0
    Σωστό το B

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Το μοναδικό γράφημα για το οποίο ισχύει P(1)=Q(1) (όπως δείχθηκε στο προηγούμενο σχόλιο) είναι το Β.
    Για να είναι το Β γράφημα των ζητούμενων συναρτήσεων θα πρέπει να είναι και P(-1)=Q(-1) το οποίο δεν ισχύει πάντα.
    Πράγματι για ν άρτιο το Q(-1)=1 * (μέσον όρο των συντελεστών) και για ν περιττό το Q(-1)=0.
    Το Q(-1)=0, για ν περιττό απορρίπτεται γιατί οι καμπύλες στο Β δεν τέμνουν τον άξονα x'x ενώ για ν άρτιο θα πρέπει η P(-1)=Q(-1)= μέσον όρο των συντελεστών του πολυωνύμου.
    Συνεπώς μόνο στην περίπτωση που το ν είναι άρτιος, P(1)=Q(1)<0 και P(-1)=Q(-1)=μέσον όρο των συντελεστών του πολυωνύμου <0,ισχύει το Β.

    ΑπάντησηΔιαγραφή