Διεθνής Μαθηματική Ολυμπιάδα 2015 - Μικρή Λίστα (Γεωμετρία)

G.1 Έστω οξυγώνιο τρίγωνο με ορθόκεντρο . Θεωρούμε σημείο έτσι ώστε το τετράπλευρο να είναι παραλληλόγραμμο και σημείο της ευθείας έτσι ώστε η να διχοτομεί την . 

Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει την στο . Να δειχθεί ότι .

G.2 Έστω τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο . Κύκλος με κέντρο τέμνει την στα ώστε το
να βρίσκεται μεταξύ των .
Έστω τα κοινά σημεία των . Έστω ότι το ανήκει στο τόξο του που δεν περιέχει το και το ανήκει στο τόξο του που δεν περιέχει το . Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων τέμνουν τις πλευρές στα αντίστοιχα. Οι ευθείες τέμνονται στο . 

Να δειχθεί ότι τα σημεία είναι συνευθειακά.

G.3 Έστω τρίγωνο τέτοιο ώστε και έστω το ίχνος του ύψους από το .Σημείο επιλέγεται στο εσωτερικό του τριγώνου έτσι ώστε η να διχοτομεί την . Έστω το σημείο τομής των ευθειών και το ημικύκλιο διαμέτρου το οποίο τέμνει το τμήμα σε εσωτερικό σημείο.Ευθεία διερχομένη από το εφάπτεται του στο . Να δειχθεί ότι οι ευθείες τέμνονται επί του .

G.4 Έστω οξυγώνιο τρίγωνο και το μέσο του τμήματος .Κύκλος διερχόμενος από τα τέμνει ξανά τις στα αντίστοιχα.Θεωρούμε σημείο τέτοιο ώστε το τετράπλευρο να είναι παραλληλόγραμμο. Αν το ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του ,να βρεθούν όλες οι δυνατές τιμές του λόγου .

G.5 Έστω τρίγωνο με κι έστω τα μέσα των τμημάτων αντίστοιχα.Κύκλος που διέρχεται από το κι εφάπτεται της στο ,τέμνει τα τμήματα στα σημεία αντίστοιχα. 

Έστω τα συμμετρικά των αντίστοιχα,ως προς τα αντίστοιχα.Η ευθεία τέμνει τις στα αντίστοιχα. Η ευθεία τέμνει ξανά τον στο σημείο .Να δειχθεί ότι .

G.6 Έστω οξυγώνιο τρίγωνο με κι έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του.Έστω το ορθόκεντρο του ,το μέσο του τμήματος και το ίχνος του ύψους από το αντίστοιχα.

Έστω σημεία στον τέτοια ώστε και . Να δειχθεί ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων εφάπτονται μεταξύ τους.

G.7 Έστω κυρτό τετράπλευρο και σημεία των τμημάτων αντίστοιχα. Τα τμήματα τέμνονται στο . Αν τα τετράπλευρα

 

είναι όλα περιγράψιμα,να δειχθεί ότι οι ευθείες συντρέχουν.

G.8 Ονομάζουμε τριγωνοποίηση ενός κυρτού πολυγώνου μια διαμέρισή του σε τρίγωνα,χρησιμοποιώντας διαγωνίους οι οποίες δεν έχουν κοινά σημεία πέραν των κορυφών του .
Λέμε ότι μια τριγωνοποίηση είναι Ταϊλανδοποίηση αν όλα τα τρίγωνα που την αποτελούν έχουν το ίδιο εμβαδόν.Να αποδειχθεί ότι κάθε δύο Ταϊλανδοποιήσεις διαφέρουν σε ακριβώς δύο τρίγωνα (Με άλλα λόγια,να αποδειχθεί ότι,για κάθε δύο Ταϊλανδοποιήσεις, είναι δυνατόν να αντικαταστήσουμε ένα ζεύγος τριγώνων της μιας με ένα άλλο ζεύγος, και να καταλήξουμε στην άλλη).

Σχόλια: 

Τα προβλήματα G.2, G.6 είναι τα προβλήματα 4,3 της περσινής ολυμπιάδας. Μπορείτε να τα δείτε,μαζί με τις λύσεις τους,σε αυτό το θέμα.

Το G.1 χρησιμοποιήθηκε στο διαγωνισμό επιλογής των Σκοπίων (όπως και το Ν.3,το οποίο δημοσίευσε ο Σιλουανός εδώ), το G.3 στο διαγωνισμό επιλογής του Ιράν,και τα G.5,G.7 στο διαγωνισμό επιλογής της Ρουμανίας.

Πηγή