Algebra, Geometry, International Mathematical Olympiads, Recreational Mathematics, Math contests, Puzzles, Brainteasers, Number Theory, Combinatorics, Logic, Paradox
Εγγραφή σε:
Σχόλια ανάρτησης (Atom)
Algebra, Geometry, International Mathematical Olympiads, Recreational Mathematics, Math contests, Puzzles, Brainteasers, Number Theory, Combinatorics, Logic, Paradox
Διαχωρισμός του 12ώρου σε 12 ίσες χρονικές περιόδους
ΑπάντησηΔιαγραφήΔηλαδή από ώρα 00:00΄:00΄΄π.μ. έως 12:00΄:00΄΄μεσημβρία.(12π.μ. με 12μ.)
Α) 00:00΄:00΄΄
Β)1:5΄: 27΄΄3/11
Γ) 2:10΄: 54΄΄6/11
Δ) 3: 16΄: 21΄΄9/11
Ε) 4: 21΄: 49΄΄1/11
ΣΤ) 5: 27΄: 16΄΄4/11
Ζ) 6: 32΄: 43΄΄7/11
Η) 7: 38΄: 10΄΄10/11
Θ) 8: 43΄: 38΄΄2/11
Ι) 9: 49΄: 5΄΄5/11
ΙΑ) 10: 54΄: 32΄΄8/11
ΙΒ) 12: 00΄ : 00΄΄
Η ίδια διαδικασία επαναλαμβάνεται δύο φορές σε 24 ώρες. (Από 00:00΄:00΄΄ έως 12:00΄:00΄΄ και από 12:00΄:00΄΄ έως 24:00΄:00΄΄)
Έστω ότι η επόμενη τριπλή σύμπτωση των δεικτών, μετά από αυτή των 12:00, γίνεται σε χρόνο t (σε sec) μετά τις 12:00.
ΑπάντησηΔιαγραφήΣτο χρόνο t:
α) ο ωροδείκτης, κινούμενος με γωνιακή ταχύτητα 30°/h = 1/120 °/s, θα γράψει γωνία t/120 °.
β) ο λεπτοδείκτης, κινούμενος με γωνιακή ταχύτητα 360°/h = 1/10 °/sec, θα γράψει γωνία t/10 °.
γ) ο δευτερολεπτοδείκτης, κινούμενος με γωνιακή ταχύτητα 360°/min = 6 °/sec, θα γράψει γωνία 6t °.
Για να υπάρχει τριπλή σύμπτωση των δεικτών, θα πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα τα εξής:
t/10 – t/120 = 360κ (κ θετικός ακέραιος) => t = 120*360κ/11 (1) και
6t-t/120 = 360λ (λ θετικός ακέραιος) => t = 120*360λ/719 (2).
Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι κ/11=λ/719 και καθώς οι 11 και 719 είναι πρώτοι, οι μικρότερες δυνατές τιμές που την ικανοποιούν είναι οι κ=11 και λ=719.
Επομένως, η ελάχιστη δυνατή τιμή t είναι η t=120*360*11/11=43200 sec = 12 h , άρα τριπλή σύμπτωση των δεικτών υπάρχει μόνο όταν η ώρα είναι 12 ακριβώς.