Πέμπτη, 19 Μαΐου 2016

Ανισότητες - 346η

Έστω $a, b, c$ θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε 
$a^2+b^2+c^2 = 1$. 
Να αποδειχθεί ότι
\[\frac{1}{(1-ab)^2} + \frac{1}{(1-bc)^2} + \frac{1}{(1-ca)^2} \leqslant \frac{27}{4}.\]
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

2 σχόλια:

  1. (1-ab)^2>(bc+ac)^2>abc^2 κυκλικά και μετά από πράξεις ab+bc+ac <27(abc)^2
    1<27 (abc)^2 .
    Για a=b=c η αρχική ισχύει ως ισότήτα.
    Υποθέτουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας a>b>c
    3a^2>a^2+b^2+c2~>3a^2>1 ομοίως κυκλικά 3b^2>1,3c^2>1 όπερ μετά από πολ/σμό το ζητούμενο

    ΑπάντησηΔιαγραφή