33η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2016 - ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ

Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις οι οποίες είναι "ένα προς ένα" και τέτοιες, ώστε για κάθε πραγματικό αριθμό και κάθε θετικό ακέραιο , να ισχύει

Πρόβλημα 2

Έστω ένα εγγράψιμο τετράπλευρο με . Οι διαγώνιοί του τέμνονται στο σημείο και οι ευθείες και τέμνονται στο σημείο . Θεωρούμε τις προβολές και του σημείου στις πλευρές και αντίστοιχα και τα μέσα , και των , και αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι το δεύτερο κοινό σημείο των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων και ανήκει στο τμήμα .

Πρόβλημα 3

Να βρείτε όλα τα μονικά πολυώνυμα με ακεραίους συντελεστές που ικανοποιούν την ακόλουθη ιδιότητα: Υπάρχει ένας θετικός ακέραιος τέτοιος, ώστε ο να διαιρεί τον για κάθε πρώτο , για τον οποίο ο αριθμός είναι θετικός ακέραιος.

Σημείωση: Ένα μονικό πολυώνυμο έχει συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου του ίσο με .

Πρόβλημα 4

Το επίπεδο χωρίζεται σε μοναδιαία τετράγωνα από δύο σύνολα παράλληλων ευθειών, σχηματίζοντας ένα άπειρο πλέγμα. Κάθε μοναδιαίο τετράγωνο χρωματίζεται με ένα από τα χρώματα έτσι, ώστε να μην υπάρχει ορθογώνιο με περίμετρο το οποίο να περιέχει δύο τετράγωνα του ιδίου χρώματος. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει ορθογώνιο με διαστάσεις ή που να περιέχει δύο τετράγωνα του ιδίου χρώματος.

Το 1ο πρόβλημα προτάθηκε από τα Σκόπια.

Το 2ο πρόβλημα ήταν Ελληνική πρόταση (Σιλουανός Μπραζιτίκος).

Το 3ο πρόβλημα ήταν Ελληνική πρόταση (Σιλουανός Μπραζιτίκος - Παναγιώτης Λώλας).

Το 4ο πρόβλημα ήταν της Βουλγαρίας.

Πηγή