Δευτέρα, 18 Απριλίου 2016

$\dfrac{49b^ 2 + 39bc + 9c^ 2} {a ^2}$ = ?

Aν για τους πραγματικούς αριθμούς $a,b,c$ ισχύουν
$a ^2 + ab + b^ 2 = 9 $
$b ^2 + bc + c^2 = 52$ 
$c ^2 + ca + a ^2 = 49$
να υπολογιστεί η τιμή του κλάσματος 
$\dfrac{49b^ 2 + 39bc + 9c^ 2} {a ^2}$.
ΜΙΤ - ΗARVARD Math Contest 2016
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

3 σχόλια:

  1. Βρήκα αυτούς τους αριθμούς
    a = 15/√91 , b = 18/√91 , c = 58/√91
    Επαληθεύουν και τις τρεις συνθήκες που δίνονται.
    Απλή αντικατασταση μας δίνει ότι (49b^2 + 39bc + 9c^2 )/α^2 = 386,08
    Στην ιστοσελιδα ΗARVARD Math Contest 2016 δινει απαντηση 52 .
    Που είναι το λάθος ?

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Μια αλλη προσσεγγιση χωρις να το απλοποιει...
    Αφαιρωντας τις σχεσεις κατα μελη εχω
    α+β+γ=43/(γ-α)=40/(γ-β)=3/(β-α)=λ
    λυνοντας εχω α=(λ^2 -46)/3λ
    β=(λ^2 -37)/3λ
    και γ=(λ^2 +83)/3λ.
    Κανοντας αντικατασταση
    Α=...=(97λ^4 -338λ^2 +9313)/(λ^4 - 92λ^2 +2116)
    κανονικα επρεπε να απλοποιηθει...
    θα παρακαλουσα τον ΝΙΚ ΚΑL να δωσει μια πιο λεπτομερη λυση.
    Ευχαριστω εκ' των προτερων.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Συμφωνω με τη λυση αυτή.
      Απο σημειο Ο φερνω 3 ευθ. τμηματα ΟΑ = a , OB = b , ΟΓ =c . Καθε ευθ. τμημα σχηματιζει γωνια 120 μοιρες με το διπλανο του. Και το ΑΒΓ εχει πλευρες α, β ,γ. Τοτε:

      a + b + c = λ = √91
      Αυτό προκυπτει από:
      a^2+ab+b^2=9
      b^2+bc+c^2=52

      c^2+ca+a^2=49

      Το τρίγωνο εχει περιμετρο 7 + 3 + √52 = 10 + 2√13 και
      Ημιπεριμετρο τ = 5 + √13

      και από το αθροισμα των εμβαδων είναι :

      1/2 ab ημ120ο + 1/2 bc ημ120ο + 1/2 ac ημ120ο = √(τ (τ-α)(τ-β)(τ-γ))

      1/2 ab √3/2 + 1/2 bc √3/2 + 1/2 ac √3/2 =

      √(5+√13) (2+ √13)(√13-2)(5-√(13) =

      √(25-13)(13-4) = √(12 •9) = 6√3

      Απαλοιφουμε √3 και παρονομαστες και βγαινει

      ab + bc + ac = 24 και μαζι με τα
      a^2+ab+b^2=9
      b^2+bc+c^2=52

      c^2+ca+a^2=49
      βγαινει ότι . a + b + c = √91

      Αρα όπως σωστα βρηκατε c-b = 40/√91
      b-a = 3/√91
      c-a = 43/√91

      Διαγραφή