Κυριακή, 10 Απριλίου 2016

Ισεμβαδικά και ισοσκελή

Τα ισοσκελή τρίγωνα $ABC$ και $NMP$ είναι ισεμβαδικά.
Να βρεθεί το $χ$.
Cono Sur Μath Olympiad 1989
Λύση (του Νίκου Φραγκάκη)

3 σχόλια:

  1. $r_{1}=\dfrac{2x+a}{2}=x+\dfrac{a}{2}, r_{2}=\dfrac{x+b}{2}$

    $E_{1}=E_{2}\Rightarrow$ $\sqrt{(x+\dfrac{a}{2}) \dfrac{a}{2}\dfrac{a}{2}(x+\dfrac{a}{2}-a)}=$

    $\sqrt{(x+\dfrac{b}{2}) \dfrac{b}{2}\dfrac{b}{2}(x+\dfrac{b}{2}-b)}\Rightarrow$

    $x=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}$

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Αλλιώς...

    Από τα δεδομένα $\angle B+\angle N =180°\Rightarrow$ $cosB=-cosN$

    $a^2=2x^2-2x^2cosB\Rightarrow$ $cosB=\dfrac{2x^2-a^2}{2x^2} (1)$

    $b^2=2x^2+2x^2cosB \Rightarrow$ $cosB=\dfrac{b^2-2x^2}{2x^2}(2)$

    Από $(1)$ kai $(2)$ $\dfrac{2x^2-a^2}{2x^2}=\dfrac{b^2-2x^2}{2x^2}\Rightarrow$

    $x=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}$

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Αν ενώσουμε τα δύο τρίγωνα ταυτίζοντας τις BC, NM σχηματίζεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο,με υποτείνουσα την ΑΡ=2x καθώς οι γωνίες Β, Ν είναι παραπληρωματικές. Έτσι με Πυθαγόρειο Θεώρημα, προκύπτει το ζητούμενο.

    ΑπάντησηΔιαγραφή