Πέμπτη, 17 Μαρτίου 2016

$f: [0,1] → R$

Έστω συνεχής συνάρτηση $f: [0,1] → R$ για την οποία ισχύει
$\int_x^1 f(t)dt \geq \dfrac{1-x^2}{2}$
για κάθε $x$. Να αποδειχθεί ότι
$\int_0^1 f^{2}(t)dt \geq \dfrac{1}{3}$.
2nd IMC 1995
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

1 σχόλιο:

  1. Η σχεση γινεται ∫{x1}f(t)dt≥∫{x1}tdt (μεσα στα αγκιστρα βαζω τα ορια ολοκληρωσης)
    τοτε ∫{x1}(f(t)-t)dt≥0 , για καθε x στο [0,1].
    Τοτε . f(t)-t ≥0 .
    Διοτι αν ηταν f(t)-t αρνητικη και ολοκληρωνα απο {χ,1} θα κατεληγα στην αρνηση της πανω σχεσης.
    Τοτε , f(t)≥t .
    Υψωνω στο τετραγωνο (f(t))^2 ≥(t)^2 .
    Ολοκληρωνω απο {0,1}.
    ∫{0,1}f(t)dt≥∫{0,1}(t)^2 dt αρα ∫{0,1}(f(t))^2dt≥1/3 (Σας ζητω συγνωμη για το ειδος της γραφης)

    ΑπάντησηΔιαγραφή