O Πέτρος πρόσθεσε $10$ διαδοχικές δυνάμεις του $2$, ξεκινώντας από κάποια δύναμη του $2$, ενώ ο Νίκος πρόσθεσε αρκετούς
διαδοχικούς θετικούς ακέραιους αριθμούς, αρχίζοντας από το $1$. Είναι δυνατόν να έχουν το ίδιο αποτέλεσμα;
TOURNAMENT OF THE TOWNS Junior Level 2015
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Ναί, είναι δυνατόν!
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν $2^k$,$2^{k+1}$,...,$2^{k+9}$, $10$ διαδοχικές δυνάμεις του $2$
τότε $2^k+2^{k+1}+...+2^{k+9}=2^{k+10}-2^{k}=$
$2^k(2^{10}-1)=1023\cdot 2^k$
και αν $1,2,3,....,n$, $n$ διαδοχικοί αριθμοί,
τότε $1+2+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$
Θέλουμε $1023\cdot 2^k=\dfrac{n(n+1)}{2}\Rightarrow$
$n=\dfrac{1}{2}(\sqrt{1023\cdot2^{k+3}+1}-1)$,
η οποία επαληθεύεται (τουλάχιστον;) για $\boxed{n=1023, k=9}$