Δευτέρα, 7 Μαρτίου 2016

Είναι δυνατόν;

O Πέτρος πρόσθεσε $10$ διαδοχικές δυνάμεις του $2$, ξεκινώντας από κάποια δύναμη του $2$, ενώ ο Νίκος πρόσθεσε αρκετούς
διαδοχικούς θετικούς ακέραιους αριθμούς, αρχίζοντας από το $1$. Είναι δυνατόν να έχουν το ίδιο αποτέλεσμα;
TOURNAMENT OF THE TOWNS Junior Level 2015
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

1 σχόλιο:

  1. Ναί, είναι δυνατόν!

    Αν $2^k$,$2^{k+1}$,...,$2^{k+9}$, $10$ διαδοχικές δυνάμεις του $2$

    τότε $2^k+2^{k+1}+...+2^{k+9}=2^{k+10}-2^{k}=$
    $2^k(2^{10}-1)=1023\cdot 2^k$

    και αν $1,2,3,....,n$, $n$ διαδοχικοί αριθμοί,
    τότε $1+2+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

    Θέλουμε $1023\cdot 2^k=\dfrac{n(n+1)}{2}\Rightarrow$
    $n=\dfrac{1}{2}(\sqrt{1023\cdot2^{k+3}+1}-1)$,
    η οποία επαληθεύεται (τουλάχιστον;) για $\boxed{n=1023, k=9}$

    ΑπάντησηΔιαγραφή