Ένας αφηρηµένος υπάλληλος τράπεζας έκανε λάθος στην εξαργύϱωση µιάς επιταγής και έδωσε στον πελάτη δολάρια αντί για τα σεντς και σεντς αντί για τα δολάρια. Με αποτέλεσµα ο πελάτης µετά που αγόρασε µία εφηµερίδα των 5 σεντς, να διαπιστώσει ότι έχει ακριβώς το διπλάσιο ποσό από αυτό που έγραφε η επιταγή. Πόσα ήταν τα χρήµατα της επιταγής;
Το ξαναγράφω με διορθωμένη μια ανορθογραφία αφηρημάδας :-)
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω ότι η πραγματική αξία της επιταγής ήταν:
χ δολάρια + ψ σεντς = 100χ+ψ σεντς
Από το λάθος του υπαλλήλου, ο πελάτης εισέπραξε ποσό:
ψ δολάρια + χ σεντς = 100ψ+χ σεντς
Ξόδεψε 5 σεντς για την εφημερίδα, οπότε του μένουν 100ψ+χ-5 σεντς και αφού αυτά είναι διπλάσια από την πραγματική αξία της επιταγής, ισχύει η ισότητα:
100ψ+χ-5 = 2(100χ+ψ) => 98ψ = 199χ+5 => 98ψ = 98*2χ+3χ+5 (1)
Αν πάρουμε την (1) σε ισοτιμία mod98, έχουμε:
3χ+5 ≡ 0mod98.
Επειδή όμως ο χ είναι το πολύ διψήφιος (αλλιώς δεν θα ήταν δυνατό να εισπραχτούν χ σεντς), οι δυνατές τιμές του 3χ+5 είναι οι 98, 196 και 294.
Από αυτές, μόνο η τιμή 98 δίνει ακέραιο χ, οπότε:
3χ+5=98 =>. χ=31 και ψ=63.
Επομένως, η πραγματική αξία της επιταγής ήταν 31,63 δολάρια.