Πέμπτη, 31 Μαρτίου 2016

Πλακίδια

Θεωρούμε πίνακα $Π$ σχήματος ορθογωνίου με διαστάσεις $ll$ cm και $l0$ cm. Ο πίνακας υποδιαιρείται με ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές του σε 110 τετράγωνα πλευράς $l$ cm. 
Διαθέτουμε πλακίδια σχήματος σταυρού, που αποτελούνται από $6$ τετράγωνα πλευράς $l$ cm, όπως δίνονται στο διπλανό σχήμα. Να προσδιορίσετε τον μέγιστο αριθμό πλακιδίων που μπορούμε να τοποθετήσουμε στον πίνακα $Π$ έτσι ώστε να μην έχουν επικαλύψεις μεταξύ τους και κάθε πλακίδιο να επικαλύπτει $6$ ακριβώς τετράγωνα του πίνακα.
Προκριματικός διαγωνισμός 2010- 11
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

3 σχόλια:

  1. Έχουμε ένα ορθογώνιο $11X10$ από $110$ τετράγωνα πλευράς $l$. Τα περιμετρικά και γωνιακά (εξωτερικά) τετράγωνα είναι $11\cdot2+8\cdot2=38$ Μπορούμε, εύκολα, να παρατηρήσουμε ότι ανά δύο διαδοχικά τετράγωνα, ($19$ ζεύγη $2lX1l$) το ένα δεν μπορεί να καλυφθεί, άρα $19$ εξωτερικά τετράγωνα δεν μπορούν να καλυφθούν.
    Τοποθετώντας στις $4$ γωνίες πλακίδια παρατηρούμε ότι $4$ ζεύγη διαδοχικών περιμετρικών τετραγώνων δεν μπορούν να καλυφθούν. Τα $4$από αυτά τα $8$ τετράγωνα ήδη έχουν μετρηθεί, άρα άλλα $4$ περιμετρικά τετράγωνα δεν μπορούν να καλυφθούν (εδώ ίσως μου διαφεύγει κάτι και τα επί πλέον περιμετρικά τετράγωνα που δεν μπορούν να καλυφθούν να είναι $2$. Όπως και να έχει δεν παίζει ρόλο και δεν επηρεάζει την λύση του προβλήματος, όπως θα δούμε παρακάτω).
    Έχουμε λοιπόν $19+4=23$ εξωτερικά τετράγωνα ακάλυπτα , άρα εξωτερικά τετράγωνα που μπορεί να καλυφθούν είναι το πολύ $38-23=15$ (ή $38-21=17$).
    Τα εσωτερικά - μη περιμετρικά και μη γωνιακά τετράγωνα – είναι $110-38=72$, άρα το πολύ $72+15=87$ τετράγωνα μπορεί να καλυφθούν (ή αντίστοιχα $89$). Όμως - τα πλακάκια έχουν $6$ τετράγωνα – τα τετράγωνα που μπορούν να καλυφθούν είναι $6\cdot14=84$ ($15\cdot6=90>$ $87$ η $89$)
    Άρα ο μέγιστος αριθμός πλακιδίων είναι $14$.
    Και αυτό μπορεί να υλοποιηθεί, το έχω κάνει στο $GeoGebra$, αλλά δεν γίνεται να αναρτηθεί.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Πολύ ωραία η λύση του Ευθύμη, μπήκα για μια στιγμή στη διαδικασία να την αμφισβητήσω, αλλά το μετάνιωσα :-). Μπράβο Ευθύμη! Αλλά μιας και μπήκα στον κόπο να ασχοληθώ με το πρόβλημα, ας δώσω και μια ελαφρώς διαφορετική προσέγιση:
    Με τη δεδομένη μορφή των πλακιδίων, δεν είναι δυνατό να καλυφθεί κανένα γωνιακό τετράγωνο ούτε και οποιαδήποτε δύο διαδοχικά πλευρικά τετράγωνα, συνεπώς σε κάθε μεγάλη πλευρά του πίνακα δεν μπορούν να καλυφθούν περισσότερα από 5 τετράγωνα. Υποθέτοντας ότι οι μεγάλες πλευρές του πίνακα είναι οριζόντιες, ο μόνος τρόπος για να καλυφθούν 5 πλευρικά τετράγωνα σε καθεμιά από αυτές είναι να ΄στριμωχτούν' οριζοντίως 5 όρθια πλακίδια που να καλύπτουν κατά σειρά τα τετράγωνα 2-4-6-8-10 της κάθε μεγάλης πλευράς. Με μια τέτοια διάταξη, στη μία από τις μεγάλες πλευρές, τα δύο ακραία πλακίδια θα έχουν τις ουρές τους με τα δύο τετράγωνα προς το εσωτερικό του πίνακα, ακυρώνοντας τη δυνατότητα κάλυψης δύο διαδοχικών μη γωνιακών τετραγώνων σε κάθε μικρή πλευρά του πίνακα. Έτσι, αν σε κάθε μεγάλη πλευρά είναι καλυμμένα από 5 τετράγωνα, σε κάθε μικρή δεν είναι δυνατό να καλυφθούν περισσότερα από 3. Καταλήγουμε επομένως ότι ο αριθμός των πλευρικών τετραγώνων του πίνακα που είναι δυνατό να καλυφθούν δεν μπορεί να ξεπερνάει τα 2*(5+3)=16.
    Δεδομένου ότι ο πίνακας έχει και 9*8=72 εσωτερικά τετράγωνα, ο συνολικός αριθμός των τετραγώνων του πίνακα που είναι δυνατό να καλυφθούν είναι όχι μεγαλύτερος από 72+16=88 και επομένως ο μέγιστος αριθμός πλακιδίων όχι μεγαλύτερος από το μεγαλύτερο ακέραιο που πολλαπλασιαζόμενος επί 6 δίνει γινόμενο μικρότερο ή ίσο του 88, δηλαδή το 14 (14*6=84).
    Μια τέτοια διάταξη 14 πλακιδίων είναι η εξής (γράφω τις συντεταγμένες σειράς & στήλης του 'κεντρικού' τετραγώνου κάθε πλακιδίου, σημειώνοντας με κ ή π τα πλακίδια που η ουρά των 2 τετραγώνων είναι προς τα κάτω ή πάνω αντίστοιχα):
    (2,3)κ, (4,2)π, (6,3)κ, (8,2)π, (10,3)κ, (5,5)π, (9,5)π, (3,6)κ, (7,6)κ, (4,8)π, (8,8)π, (2,9)κ, (6,9)κ, (10,9)κ

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Γεια σου Θανάση και ευχαριστώ για τον καλό σου λόγο!
      Έκανες πολύ καλά που το μετάνιωσες :-), αν μη τι άλλο βρήκες μια πολύ ωραία μέγιστη κάλυψη περιμετρικών τετραγώνων.

      Διαγραφή