1. Έστω τετράγωνο $ABCD$ πλευράς $5$ και $E$ τυχαίο σημείο επί της $BC$ τέτοιο ώστε $BE =3$ και $EC = = 2$. Αν $P$ μεταβλητό σημείο επί της διαγωνίου $BD$, να υπολογιστεί το μήκος του $PB$, αν το άθροισμα $PE+ PC$ είναι ελάχιστο.
2. Σε τρίγωνο $ABC$, $∠ACB= 3∠BAC$, $BC=5$, $AB = 11$. Να βρεθεί το μήκος της πλευράς $AC$.
3. Έστω τρίγωνο $ABC$ και $D,E,F$ τα μέσα των πλευρών $AB, BC,CA$. Αν $AB=10$, $CD=9$ και $CD\ AE$, να βρεθεί το μήκος $BF$.
International Mathematical Olympiad
Preliminary Selection Contest 2002 – Hong Kong
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Για το 1.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑπλό, αν δεν μου διέφυγε κάτι. Αν $K$ το συμμετρικό του $E$ ως προς $BD$, το $K$ θα βρεθεί στην $AB$ και θα είναι $KB=3$, οπότε προφανώς $P\equiv KC \cap BD$, όπου έχουμε το ελάχιστο $PE+PC$, αφού $PE+PC=KP+PC=KC$ (ευθεία).
Είναι $\triangle KPB\sim \triangle CPD$ και αν $PB=x$ τότε $\dfrac{x}{3}=\dfrac{5\sqrt{2}-x}{5}\Rightarrow$ $x=\dfrac{15\sqrt{2}}{8}$, άρα $PB=\dfrac{15\sqrt{2}}{8}$
Για το $3.$
ΑπάντησηΔιαγραφήΥποθέτω ότι $CD=AE$ (Αν $CD\bot AE$,
λύνω άλλο πρόβλημα).
Είναι $DE//AC$ και επειδή $AE=CD$
άρα το $ADEC$ ισοσκελές τραπέζιο,
άρα $AD=CE\Rightarrow$ $BC=AB=10$,
άρα η διάμεσος $BF$ είναι και ύψος.
Αν $CA=y \wedge BF=x$ τότε:
Από Π.Θ στο $\triangle AFB$ έχουμε:
$x^2+\dfrac{y^2}{4}=10^2\ (1)$
Από $1$ο θεώρημα διαμέσων στο $\triangle ABC$ έχουμε:
$y^2+10^2=2\cdot 9^2+\dfrac{10^2}{2}\Rightarrow$ $y=4\sqrt{7}$
και στην συνέχεια από την $(1)$ παίρνουμε $BF=x=6\sqrt{2}$
Ισχύει $\dfrac{sin(\angle C)}{sin(\angle A)}=\dfrac{AB}{BC}=$ $\dfrac{11}{5}$ Έστω $\angle A=a \Rightarrow \angle C=3a$
ΑπάντησηΔιαγραφήοπότε $\dfrac{sin(3a)}{sin(a)}=\dfrac{11}{5}\Rightarrow$ $\dfrac{3sin(a)-4sin^3(a)}{sin(a)}=\dfrac{11}{5}\Rightarrow$
$3-4sin^2(a)=\dfrac{11}{5}\Rightarrow$ $sin^2(a)=\dfrac{1}{5}\Rightarrow$ $cos^2(a)=\dfrac{4}{5}$
$\Rightarrow \boxed{cos(a)=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}}$
Ισχύει $BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cdot cos(a)$
Αν $AC=x$ τότε $5^2=x^2+11^2-2\cdot 11x\cdot \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\Rightarrow$
$5x^2-44\sqrt{5}x+480=0$ από όπου παίρνουμε:
$x_{1}=\dfrac{24\sqrt{5}}{5}, x_{2}=4\sqrt{5}$
Δεκτή γίνεται μόνο η $x_{1}=\dfrac{24\sqrt{5}}{5}\Rightarrow$ $\boxed{AC=\dfrac{24\sqrt{5}}{5}}$
(η $x_{2}}$ μας δίνει την παραπληρωματική της $\angle C)$
Η $x_{2}$ μας δίνει την παραπληρωματική της $\angle C$
ΔιαγραφήΓια το $2.$
ΑπάντησηΔιαγραφήΣτην $AB$ παίρνουμε σημείο $D$ τέτοιο ώστε $\angle ACD=\angle A \Rightarrow$ $AD=DC$
Είναι $\angle BDC=2\angle A$ και $\angle DCB=3\angle A- \angle A= 2\angle A$, άρα
$\triangle DBC$ ισοσκελές άρα $DB=BC=5$, οπότε $DC=AD=6$
Από σχέση Stewart $5AC^2+6\cdot5^2=11\cdot6^2+11\cdot6\cdot5\Rightarrow$
$AC^2=\dfrac{576}{5}\Rightarrow AC=\dfrac{24}{\sqrt{5}}$