Δευτέρα, 29 Φεβρουαρίου 2016

Από Hong Kong

1. Έστω τετράγωνο $ABCD$ πλευράς $5$ και $E$ τυχαίο σημείο επί της $BC$ τέτοιο ώστε $BE =3$ και $EC = = 2$. Αν $P$ μεταβλητό σημείο επί της διαγωνίου $BD$, να υπολογιστεί το μήκος του $PB$, αν το άθροισμα $PE+ PC$ είναι ελάχιστο.
2. Σε τρίγωνο $ABC$, $∠ACB= 3∠BAC$, $BC=5$, $AB = 11$. Να βρεθεί το μήκος της πλευράς $AC$. 
3. Έστω τρίγωνο $ABC$ και $D,E,F$ τα μέσα των πλευρών $AB, BC,CA$. Αν $AB=10$, $CD=9$ και $CD\ AE$, να βρεθεί το μήκος $BF$.
International Mathematical Olympiad 
Preliminary Selection Contest 2002 – Hong Kong
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

5 σχόλια:

  1. Για το 1.
    Απλό, αν δεν μου διέφυγε κάτι. Αν $K$ το συμμετρικό του $E$ ως προς $BD$, το $K$ θα βρεθεί στην $AB$ και θα είναι $KB=3$, οπότε προφανώς $P\equiv KC \cap BD$, όπου έχουμε το ελάχιστο $PE+PC$, αφού $PE+PC=KP+PC=KC$ (ευθεία).
    Είναι $\triangle KPB\sim \triangle CPD$ και αν $PB=x$ τότε $\dfrac{x}{3}=\dfrac{5\sqrt{2}-x}{5}\Rightarrow$ $x=\dfrac{15\sqrt{2}}{8}$, άρα $PB=\dfrac{15\sqrt{2}}{8}$

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Για το $3.$
    Υποθέτω ότι $CD=AE$ (Αν $CD\bot AE$,
    λύνω άλλο πρόβλημα).
    Είναι $DE//AC$ και επειδή $AE=CD$
    άρα το $ADEC$ ισοσκελές τραπέζιο,
    άρα $AD=CE\Rightarrow$ $BC=AB=10$,
    άρα η διάμεσος $BF$ είναι και ύψος.

    Αν $CA=y \wedge BF=x$ τότε:

    Από Π.Θ στο $\triangle AFB$ έχουμε:
    $x^2+\dfrac{y^2}{4}=10^2\ (1)$

    Από $1$ο θεώρημα διαμέσων στο $\triangle ABC$ έχουμε:
    $y^2+10^2=2\cdot 9^2+\dfrac{10^2}{2}\Rightarrow$ $y=4\sqrt{7}$

    και στην συνέχεια από την $(1)$ παίρνουμε $BF=x=6\sqrt{2}$

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Ισχύει $\dfrac{sin(\angle C)}{sin(\angle A)}=\dfrac{AB}{BC}=$ $\dfrac{11}{5}$ Έστω $\angle A=a \Rightarrow \angle C=3a$

    οπότε $\dfrac{sin(3a)}{sin(a)}=\dfrac{11}{5}\Rightarrow$ $\dfrac{3sin(a)-4sin^3(a)}{sin(a)}=\dfrac{11}{5}\Rightarrow$

    $3-4sin^2(a)=\dfrac{11}{5}\Rightarrow$ $sin^2(a)=\dfrac{1}{5}\Rightarrow$ $cos^2(a)=\dfrac{4}{5}$

    $\Rightarrow \boxed{cos(a)=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}}$

    Ισχύει $BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cdot cos(a)$

    Αν $AC=x$ τότε $5^2=x^2+11^2-2\cdot 11x\cdot \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\Rightarrow$
    $5x^2-44\sqrt{5}x+480=0$ από όπου παίρνουμε:

    $x_{1}=\dfrac{24\sqrt{5}}{5}, x_{2}=4\sqrt{5}$
    Δεκτή γίνεται μόνο η $x_{1}=\dfrac{24\sqrt{5}}{5}\Rightarrow$ $\boxed{AC=\dfrac{24\sqrt{5}}{5}}$
    (η $x_{2}}$ μας δίνει την παραπληρωματική της $\angle C)$

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Η $x_{2}$ μας δίνει την παραπληρωματική της $\angle C$

      Διαγραφή
  4. Για το $2.$

    Στην $AB$ παίρνουμε σημείο $D$ τέτοιο ώστε $\angle ACD=\angle A \Rightarrow$ $AD=DC$

    Είναι $\angle BDC=2\angle A$ και $\angle DCB=3\angle A- \angle A= 2\angle A$, άρα

    $\triangle DBC$ ισοσκελές άρα $DB=BC=5$, οπότε $DC=AD=6$

    Από σχέση Stewart $5AC^2+6\cdot5^2=11\cdot6^2+11\cdot6\cdot5\Rightarrow$

    $AC^2=\dfrac{576}{5}\Rightarrow AC=\dfrac{24}{\sqrt{5}}$

    ΑπάντησηΔιαγραφή