Κυριακή 7 Φεβρουαρίου 2016

Ίσοι λόγοι

Στο παρακάτω σχήμα, η $AD$ είναι διχοτόμος του τριγώνου.
Nα αποδειχθεί ότι
$\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}$.
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
Αναρτήθηκε από στις 7.2.16
Ετικέτες ,

2 σχόλια:

  1. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ7 Φεβρουαρίου 2016 στις 9:28 μ.μ.

    Φέρουμε τις $ED$ και $FD$.

    Τα τρίγωνα $BED$ και $ BDA$
    έχουν τις γωνίες $BDE$ και $BAD$ ίσες
    (υπό χορδής και εφαπτομένης και εγγεγραμμένη)
    και την γωνία $ABD$ κοινή οπότε:

    $\triangle BED\sim \triangle BDA\Rightarrow$ $\dfrac{EB}{ED}=\dfrac{BD}{AD}\ (1)$

    Αντίστοιχα $\triangle CFD\sim \triangle CDA\Rightarrow$ $\dfrac{FC}{FD}=\dfrac{DC}{AD}\ (2)$

    Διαιρούμε κατά μέλη τις $(1)$ και $(2)$ οπότε:

    $\dfrac{EB\cdot FD}{ED\cdot FC}=$ $\dfrac{BD\cdot AD}{AD\cdot DC}$, όμως $ED=FD$

    οπότε $\dfrac{EB}{FC}=\dfrac{BD}{ DC}\Rightarrow$ $\boxed{\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}}$

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Unknown7 Φεβρουαρίου 2016 στις 10:05 μ.μ.

    Από μετρικές σχέσεις στον κύκλο για τα B , C έχουμε {BE∙BA=〖BD〗^2 και CF∙CA=〖CD〗^2
    Διαιρούμε κατά μέλη (x∙BA)/(y∙CA)=(α/b)^2
    Από θεώρημα διχοτόμου BA/CA=a/b
    Άρα (x∙a)/(y∙b)=(α/b)^2⇔x/y=a/b⇔x/a=y/b

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)