Σάββατο, 27 Φεβρουαρίου 2016

Μικρότερη περίμετρος

Τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι $a, b$ και $\sqrt{2016}$, όπου $a,b$ είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί. 
Να βρεθεί η μικρότερη τιμή της περιμέτρου του τριγώνου. 
Harvard - MIT Math Tournament  2016 
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

5 σχόλια:

  1. Είναι $c=\sqrt{2016}\Rightarrow c^2=2016$.
    Η αμέσως μεγαλύτερη τιμή που είναι τέλειο τετράγωνο - για να προκύψει $a$ ακέραιος αριθμός και να γίνει έλεγχος του $b$ κ.ο.κ με το επόμενο μεγαλύτερο τέλειο τετράγωνο – είναι ο $2025\Rightarrow a=45 (;)$.
    $b^2= 2025-2016=9\Rightarrow b=3$ άρα $a=45$, μας κάνει και δεν χρειάζεται περαιτέρω έλεγχος.

    Οπότε η ελάχιστη περίμετρος είναι $\boxed{48+\sqrt{2016}}$

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Η πολύ σωστή λύση του Ευθύμη (γεια σου Ευθύμη!) προϋποθέτει νομίζω ότι η πλευρά μήκους √2016 δεν είναι δυνατό να είναι η υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου με ακέραια τα μήκη των δύο κάθετων πλευρών, κάτι που όμως δεν μπορούμε να αποκλείσουμε εκ των προτέρων χωρίς έλεγχο ή απόδειξη.
    Ο αριθμός 2016 είναι αρκετά μικρός και ο √2016=44,899.. ακόμα μικρότερος, ώστε να διαπιστωθεί γρήγορα ότι δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι α,β μικρότεροι του 45, τέτοιοι ώστε α^2+β^2=2016.
    Το ότι δεν είναι δυνατό να εκφραστεί πάντως ο 2016 ως άθροισμα τετραγώνων δύο θετικών ακεραίων προκύπτει και ως συνέπεια της ταυτότητας Brahmagupta-Fibonacci, σε συνδυασμό με το θεώρημα Fermat για τα αθροίσματα δύο τετραγώνων ή αλλιώς θεώρημα των Χριστουγέννων! (βλ. https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat's_theorem_on_sums_of_two_squares#cite_note-2), ότι δηλαδή για να μπορεί να εκφραστεί ένας ακέραιος ν ως άθροισμα δύο τετραγώνων, ικανή και αναγκαία συνθήκη είναι όλοι οι πρώτοι παράγοντες του ν με ισοτιμία 3 mod4 να εμφανίζονται με ζυγό εκθέτη στην αναλυτική παράσταση του ν ως γινομένου πρώτων.
    Έχουμε όμως 2016=2^5*3^2*7 με τον 7≡3 mod4 να εμφανίζεται με μονό εκθέτη, επομένως ο 2016 δεν μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα τετραγώνων δύο θετικών ακεραίων.
    (Αν όμως είχαμε, αντί του 2016, τον 2^5*3^2*7^2=14112, όπου και ο 7, εκτός του 3≡3 mod4, εμφανίζεται με ζυγό εκθέτη, τότε ο 14112 θα μπορούσε να εφραστεί ως άθροισμα δύο τετραγώνων (84^2+84^2=14112), οπότε και η πλευρά μήκους √14112 θα μπορούσε να είναι η υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου με ακέραια τα μήκη των καθέτων πλευρών.)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Γεια σου Θανάση
    Σίγουρα έκανα τον έλεγχο στα γρήγορα και προς τα κάτω και σχεδόν νοερά ($44^2=1936$, οπότε 2016-1936=80, άρα ...) και καθώς το $45^2=2025$ μου είναι γνωστό από μνήμης, οπότε $2025-2016=9=3^2$ και τελειώσαμε.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Δεν είχα καμια αμφιβολία περί αυτού Ευθύμη!

      Διαγραφή
    2. Είμαι σίγουρος γιαυτό Θανάση, γνωριζόμαστε πια αρκετά. Για τους άλλους - αναγνώστες - το έγραψα!

      Διαγραφή