Έχετε έναν ακέραιο αριθμό, όπου κάθε ψηφίο του εμφανίζεται το πολύ δύο φορές και τα αθροίσματα όλων των τεσσάρων διαδοχικών ψηφίων του είναι τέλεια τετράγωνα.
Για παράδειγμα, ο $205290$ είναι ένας τέτοιος αριθμός, επειδή κανένα ψηφίο του δεν εμφανίζεται περισσότερο από δύο φορές και
$2 + 0 + 5 + 2$, $0 + 5 + 2 + 9$, και $5 + 2 + 9 + 0 $
είναι τέλεια τετράγωνα.
Ποια είναι η μέγιστη δυνατή τιμή για τον αριθμό αυτό?
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Πολύ ενδιαφέρων γρίφος, αλλά δεν ξέρω αν υπάρχει κάποιος ευθύς τρόπος εύρεσης του αριθμού, οπότε θα δώσω την εκτίμησή μου, αφού πρώτα διατυπώσω κάποιες βασικές σκέψεις:
ΑπάντησηΔιαγραφή1. Ο αριθμός δεν έχει περισσότερα από 20 ψηφία, αλλιώς θα υπήρχε ψηφίο με περισσότερες από δύο εμφανίσεις, ενώ για τον ίδιο λόγο τα τ.τ. που μπορεί να σχηματίζονται με τον τρόπο που περιγράφεται είναι τα 4,9,16,25.
2. Όλα τα αθροίσματα οσωνδήποτε διαδοχικών περιττών ξεκινώντας από το 1 είναι τέλεια τετράγωνα, ήτοι 1, 1+3=4, 1+3+5=9, 1+3+5+7=16 κ.ο.κ.
3. Έτσι, αν συγκολλήσουμε ένα μπλοκ των ψηφίων 1,3,5,7 (σε οποιαδήποτε μεταξύ τους σειρά) με τον εαυτό του, θα πάρουμε ένα μεγαλύτερο μπλοκ 8 ψηφίων που όλες οι διαδοχικές τετράδες ψηφίων του αθροίζονται στο ίδιο τ.τ., το 16. Π.χ. 13571357, 75317531, 31753175, κ.ο.κ. και μια τέτοια ακολουθία ψηφίων μας δίνει νομίζω τη βέλτιστη χρήση των ψηφίων 1,3,5,7. Αν είναι έτσι, πρέπει να δούμε ποια από αυτές τις ακολουθίες μπορεί και πώς να επεκταθεί προς τη μια ή την άλλη μεριά για να μας δώσει το μεγαλύτερο δυνατό τελικό αριθμό ψηφίων.
4. Δυνατότητα επέκτασης προς τα δεξιά δεν έχει καμία από αυτές, αφού αυτό θα απαιτούσε τρίτη χρήση κάποιου από τα ψηφία 1,3,5,7 Ομοίως, δεν υπάρχει δυνατότητα επέκτασης προς τα αριστερά, στην περίπτωση που το ψηφίο 7 βρίσκεται σε οποιαδήποτε από τις τρεις πρώτες θέσεις ενός τέτοιου μπλοκ. Αν όμως στις θέσεις αυτές είναι τα ψηφία 1,3,5, τότε η δυνατότητα αυτή υπάρχει και βελτιστοποιείται με την αύξουσα διάταξή τους 135, αφού οι τετράδες 0+0+1+3=4 και 0+1+3+5=9 είναι τ.τ. και έτσι με μια τέτοια διάταξη μπορούν να μπουν ακόμα δύο ψηφία 0 μπροστά (...0013571357) και μπροστά από αυτή μπορούν να μπουν επίσης δύο ψηφία 8 (.880013571357), αφού 8+0+0+1=9 και 8+8+0+0=16, ενώ μπροστά από το 880 μπορεί να μπει ένα ακόμα ψηφίο, το 9, αφού 9+8+8+0=25, όλα τ.τ.
Έτσι σχηματίζεται ο 13ψήφιος αριθμός 9880013571357 και, αν δεν ξέφυγε κάτι σημαντικό, αυτός πρέπει να είναι ο μεγαλύτερος που μπορούμε να έχουμε.
Καταπληκτικό Γιώργη,ίδε ο 14ψήφιος!!
ΑπάντησηΔιαγραφήΑφού πρώτα σου υποκλιθώ δεόντως, να ρωτήσω αν υπάρχει κάποιο μαθηματικό μονοπάτι που σε οδήγησε να τον βρεις;