Σάββατο 6 Φεβρουαρίου 2016

4031 ευθείες

Έχουμε 4031 ευθείες επί ενός επιπέδου, έτσι ώστε να μην είναι ανά δύο παράλληλες ή κάθετες, και να μην διέρχονται ανά τρεις από το ίδιο σημείο. 
Να βρεθεί ο μέγιστος αριθμός οξυγωνίων τριγώνων που μπορούν να σχηματιστούν.
Hong Kong Math TST 2016
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

2 σχόλια:

  1. Οι 4031 ευθείες ανά 3 σχηματίζουν ένα ακριβώς τρίγωνο, επομένως σχηματίζονται συνολικά C(4031,3)= 4031*4030*4029/6=4031*2015*1343 τρίγωνα (οξυγώνια ή αμβλυγώνια).
    Αν πάρουμε μία από τις ευθείες ως βάση, έστω την ε1, και δύο άλλες ευθείες που την τέμνουν, έστω ε2 και ε3, τότε για να σχηματίζουν οι ε2-ε1 και οι ε3-ε1 οξείες γωνίες θα πρέπει οι κλίσεις των ε2 και ε3 ως προς την ε1 να είναι μεταξύ τους αντίθετες.
    Για να είναι όμως το τρίγωνο που σχηματίζουν οι ε1, ε2, ε3 οξυγώνιο, θα πρέπει το αντίστοιχο να ισχύει και αν πάρουμε οποιαδήποτε άλλη από αυτές ως βάση. Επομένως, για να σχηματίζεται από τρεις ευθείες ε1,ε3,ε3 οξυγώνιο τρίγωνο θα πρέπει να υπάρχουν 3 ακριβώς ζευγάρια αντίθετης κλίσης ευθειών, θεωρώντας την τρίτη ευθεία ως βάση.
    Αντίθετα, για να σχηματίζεται αμβλυγώνιο τρίγωνο, το οποίο έχει ένα μόνο ζευγάρι οξειών γωνιών, οι τρεις ευθείες θα πρέπει να δίνουν μόνο ένα ζευγάρι ευθειών αντίθετης κλίσης, παίρνοντας την τρίτη ευθεία ως βάση.
    Σε κάθε ευθεία υπάρχουν 4030 σημεία τομής με τις άλλες ευθείες. Δεδομένου λοιπόν ότι καθεμιά από τις ευθείες ε2, ε3,….,ε4031 που τέμνουν την ευθεία ε1 έχει ως προς την ε1 διαζευκτικά ή θετική ή αρνητική κλίση, ο μέγιστος δυνατός αριθμός ζευγαριών μεταξύ των ευθειών αυτών που έχουν αντίθετες ως προς την ε1 κλίσεις είναι (4030/2)^2=2015^2 και ο μέγιστος δυνατός συνολικός αριθμός ζευγαριών ευθειών αντίθετης κλίσης που μπορεί να δώσουν οι 4031 ευθείες είναι 4031^2015^2.
    Αν είναι Χ ο αριθμός των οξυγωνίων και Ψ ο αριθμός των αμβλυγωνίων τριγώνων που σχηματίζονται, σύμφωνα με τα πιο πάνω θα πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις:
    3Χ+Ψ≤4031*2015^2 και Χ+Ψ=4031*2015*1343.
    Αφαιρώντας κ.μ. έχουμε 2Χ≤4031*2015^2-4031*2015*1343 => Χ≤4031*2015*336 => Χ≤2.729.148.240 οξυγώνια τρίγωνα. Σχηματίζονται ακριβώς τόσα στην περίπτωση που οι 4031 ευθείες σχηματίζουν ένα κανονικό 4031-γωνο.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Σε ευχαριστώ φίλε! Η πιστοποίηση ΚΝΔ από εσένα είναι μέγιστη τιμή!

      Διαγραφή