Ένα κανονικό $24$ - γωνο έχει το κέντρο του στην αρχή των αξόνων $O(0,0)$ και ένα τουλάχιστον από τα σημεία του βρίσκεται πάνω στον άξονα $χ'χ$.
Πόσα τρίγωνα σχηματίζονται από τρεις κορυφές του $24$ - γώνου που να περιέχουν το σημείο $O$;
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Έχω κάποιες επιφυλάξεις για το αν έχω αντιληφθεί σωστά το ζητούμενο, αλλά θα κάνω μια προσπάθεια:
ΑπάντησηΔιαγραφήΑς αριθμήσουμε ωρολογιακά από 1 έως 24 τις κορυφές του 24-γώνου. Εξετάζουμε αρχικά πόσα τρίγωνα που έχουν ως μία κορυφή τους την 1 και τις άλλες δύο σε δύο άλλες κορυφές του 24-γώνου περιέχουν εσωτερικά το κέντρο Ο.
Αν δεύτερη κορυφή είναι η 2, τότε ο αριθμός των τριγώνων αυτών είναι 0.
Αν δεύτερη κορυφή είναι η 3, τότε ο αριθμός των τριγώνων αυτών είναι 1 (το τρίγωνο με κορυφές1-3-14).
Αν δεύτερη κορυφή είναι η 4, τότε ο αριθμός των τριγώνων αυτών είναι 2 (τα τρίγωνα με κορυφές1-4-14 και 1-4-15).
Αν δεύτερη κορυφή είναι η 5, τότε ο αριθμός των τριγώνων αυτών είναι 3 (τα τρίγωνα με κορυφές1-5-14, 1-5-15 και 1-5-16)
...............................................................
Αν δεύτερη κορυφή είναι η 12, τότε ο αριθμός των τριγώνων αυτών είναι 10 (τα τρίγωνα με κορυφές1-12-14 έως και 1-12-23)
Αν τώρα ορίσουμε ως δεύτερες κορυφές τις 13, 14, ..., 24 που είναι αντιδιαμετρικές των κορυφών 1, 2, ..., 12 αντιστοίχως, θα προκύψουν τα ίδια τρίγωνα που βρήκαμε με δεύτερες κορυφές τα σημεία 2, 3, …, 12, αφού στις περιπτώσεις αυτές απλά αντιστρέφεται η σειρά λήψης της δεύτερης και της τρίτης κορυφής, χωρίς να προστίθενται άλλα τρίγωνα.
Συνεπώς, ο συνολικός αριθμός των τριγώνων που περιέχουν εσωτερικά το Ο με μία κορυφή τους την 1 είναι 0+1+2+3+...+10=55.
Ο συνολικός αριθμός των τριγώνων, ανεξαρτήτως καθορισμού της πρώτης κορυφής, που περιέχουν εσωτερικά το Ο είναι επομένως 24*55/3=440.
Αν ζητάμε και τα τρίγωνα στα οποία το Ο δεν περιέχεται εσωτερικά, αλλά βρίσκεται πάνω σε πλευρά του τριγώνου, τα τρίγωνα αυτά είναι τα ορθογώνια που έχουν ως υποτείνουσα κάποια διάμετρο του περιγεγραμμένου κύκλου. Υπάρχουν 12 τέτοιες διάμετροι (οι 1-13, 2-14, ..., 12-24) και κάθε μια από αυτές συνδυάζεται με οποιαδήποτε από τις 22 άλλες κορυφές για να δώσει ορθογώνιο τρίγωνο. Υπάρχουν επομένως και 12*22=264 ακόμα τρίγωνα με το Ο να ανήκει σε μία πλευρά τους.