Σάββατο 2 Ιανουαρίου 2016

$Έτος^{Έτος}$

Nα συγκριθούν οι αριθμοί:
$2015^{2016}$ και  $2016^{2015}$.
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

2 σχόλια:

  1. Θεωρώ τη συνάρτηση f(x)=lnx/x, με x>0. Η f έχει πρώτη παράγωγο f'(x)=(lnx/x)'=[x(lnx)'-lnx(x)']/x^2=(x*1/x-lnx*1)/x^2=(1-lnx)/x^2. Είναι f'(x)=0 όταν 1-lnx=0, ή lnx=1, ή x=e. Για 00 και f'(x)>0, ενώ για x>e, lnx>1, άρα 1-lnx<0 και f'(x)<0. Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0,e], γνησίως φθίνουσα στο [e,+∞) και παρουσιάζει ολικό μέγιστο για x=e. Επειδή e<2015<2016, θα είναι f(2015)>f(2016), ή ln2015/2015>ln2016/2016, ή 2016ln2015>2015ln016, ή ln2015^2016>ln2016^2015. Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g(x)=lnx με x>0, αυτή είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της, οπότε η τελευταία ανισότητα γράφεται: g(2015^2016)>g(2016^2015), ή 2015^2016>2016^2015. Καλή χρονιά!!!

    ΑπάντησηΔιαγραφή