Σάββατο 2 Ιανουαρίου 2016

Συνευθειακά σημεία

Στο παρακάτω σχήμα, να αποδειχθεί ότι τα σημεία $Ο,Α,Β$ είναι συνευθειακά.
Αναρτήθηκε από στις 2.1.16
Ετικέτες , ,

2 σχόλια:

  1. papadim11 Ιανουαρίου 2016 στις 1:43 μ.μ.

    Έστω α το ύψος του μεγάλου ορθογωνίου, 2α το μήκος κάθε βάσης του και Γ, Δ τα σημεία επαφής του κόκκινου και του μπλε κύκλου αντιστοίχως με την οριζόντια πάνω βάση του. Έστω επίσης r η ακτίνα του κόκκινου κύκλου και R η ακτίνα του μπλε κύκλου.
    Συνδέουμε το κέντρο Α του κόκκινου κύκλου με το κέντρο, έστω Κ, του μεγάλου γκρι κύκλου και φέρουμε την κάθετο από το Α προς τις βάσεις του ορθογωνίου, η οποία τέμνει την κάτω βάση στο σημείο Ε (και την πάνω βάση στο σημείο Γ). Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΕΚΑ, από την εφαρμογή του Π.Θ. έχουμε:
    (α/2)^2+(α-r)^2=(α+r)^2 => r=α/16
    Αν Ζ είναι η κάτω αριστερά κορυφή του μεγάλου ορθογωνίου, τότε από την εφαρμογή του Π.Θ. στο ορθογώνιο τρίγωνο ΖΚΒ έχουμε:
    α^2+(α-R)^2=(α+R)^2 => R=α/4.
    Τα ορθογώνια τρίγωνα ΓΑΟ και ΒΔΟ έχουν λόγους πλευρών ΓΟ/ΔΟ=(α/4)/2α=1/4 και ΓΑ/ΔΒ=r/R=(α/16)/(α/4)=1/4 επίσης, επομένως είναι όμοια.
    Κατά συνέπεια, οι γωνίες ΓΟΑ και ΔΟΒ είναι ίσες και τα σημεία Ο, Α και Β είναι συνευθειακά, ό.έ.δ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)