Τρίτη 8 Δεκεμβρίου 2015

$f +6f'+12f''+ 8f'''$

Έστω συνάρτηση $f$ τρεις φορές παραγωγίσιμη στο  $R$. Αν η συνάρτηση $f$ έχει τουλάχιστον πέντε διαφορετικές πραγματικές ρίζες να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
$f +6f'+12f''+ 8f'''$
έχει τουλάχιστον δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες.
Putnam 2015 B1
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
Αναρτήθηκε από στις 8.12.15
Ετικέτες , ,

1 σχόλιο:

  1. Tolaso J. Kos8 Δεκεμβρίου 2015 στις 5:20 μ.μ.

    Θεωρούμε τη συνάρτηση $g(x)=8e^{x/2} f(x)$ και παρατηρούμε ότι οι ρίζες της $f$ είναι ακριβώς οι ρίζες της $g$. Από το κανόνα γινομένου έχουμες ότι:

    $$g'''(x)=e^{x/2}(f(x)+6f'(x)+12f''(x)+8f'''(x))$$

    Συνεπώς η $g$ έχει τουλάχιστον $5$ διακεκριμένες ρίζες. Από το θεώρημα Rolle , γνωρίζουμε πως μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της συνάρτησης υπάρχει μία ρίζα της παραγώγου. Οπότε η $g'$ έχει τουλάχιστον $4$ διακεκριμένες ριζες και κατά συνέπεια η $g''$ τουλάχιστον $3$ και η $g'''$ τουλάχιστον $2$. Όμως οι ρίζες της $g'''$ είναι ακριβώς οι ρίζες της:

    $$$f+6f'+12f''+8f'''$$

    και κάπως έτσι τελειώσαμε.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)