Δευτέρα 7 Δεκεμβρίου 2015

ΒΕ = ?

Έστω $ABCD$ τετράγωνο πλευράς $1$. Αν τα ορθογώνια $JKHG$, $BEFC$ είναι ίσα, τότε να βρεθεί το μήκος $BE$.
Δείτε τη λύση που μου έστειλε ο αγαπητός φίλος Φραγκάκης Νίκος (Doloros) από το 2ο Γ.Ε.Λ . Ιεράπετρας:
Οι διαγώνιοι των ορθογωνίων $BEFC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KJGH$ είναι ίσες, άρα $CF = HJ = FB$. Άμεσες συνέπειες:
Το τετράπλευρο $EJHC$ είναι ισοσκελές τραπέζιο , με $\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}}$ και αφού $\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_1}}$
Το τετράπλευρο $BJHF$ είναι παραλληλόγραμμο.
Θέτουμε: 
$BE = CF = KJ = HG = x$ και $HD = EJ = a$ , $FH = b\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DG = w$.
Η διάμεσος $MN$ του τραπεζίου $EJHC$ είναι 
$MN = \dfrac{{EJ + CH}}{2} = \dfrac{{a + x + b}}{2} = \dfrac{1}{2}$.
Επειδή όμως και το τετράπλευρο $MNHF$ είναι παραλληλόγραμμο θα είναι $b = FH = MN = \dfrac{1}{2}$, δηλαδή στο τρίγωνο $FKH$ η γωνία $\widehat {FKH} = 30^\circ $. Το ορθογώνιο τρίγωνο $DHG$ είναι του ιδίου «φυράματος» .
Είναι 
$BJ = a + x = $ $\dfrac{1}{2}$
οι πλευρές του ορθογωνίου αυτού τριγώνου $DHG$ είναι: 
$HG = x\,\,,\,\,w = DG = \dfrac{x}{2}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,HD = a = \dfrac{1}{2} - x$. 
Από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε: 
${x^2} = \dfrac{{{x^2}}}{4} + {(\dfrac{1}{2} - x)^2}$ 
και άρα έχουμε δεκτή ρίζα $\boxed{x = 2 - \sqrt 3 }$
Φραγκάκης Νίκος (Doloros) -2ο Γ.Ε.Λ . Ιεράπετρας

3 σχόλια:

  1. Με αλγεβρική αντιμετώπιση προκύπτει ένα δυσεπίλυτο σύστημα εξισώσεων, από το οποίο καταλήγουμε στο ότι $ΒΕ = 2-sqrt(3)$.

    Μπορεί κάποιος να βοηθήσει δίνοντας μια γεωμετρική λύση;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Φέρε κάθετο από το Η στην ΑΒ. έστω Η' το ίχνος.
      ΗΗ'=1
      Ορθ. τρίγωνα ΗGJ kai HH'J ομοια.
      Αρα Η'J=HG=BE
      Tα τεσσερα τρίγωνα στην ειξόνα είναι όμοια.
      Ισχύει επίσης:H'Α=ΗD=EJ
      Eστω x=H'J=HG=BE και
      y=H'A=HD=EJ
      BE+EJ+JH'+LA=2(x+y)=1
      x+y=1/2=BE +EJ=BJ
      Ara J ,μέσο του ΑΒ.
      Αρα ΑJG είναι τρίγωνο 60-30-90 μοίρες.
      ΑG=riza 3 *AJ= ριζα3/δεύτερα
      GD=(2-riza 3)/2=KE
      ...=2-ρίζα3

      Διαγραφή