ΒΕ = ?

Έστω $ABCD$ τετράγωνο πλευράς $1$. Αν τα ορθογώνια $JKHG$, $BEFC$ είναι ίσα, τότε να βρεθεί το μήκος $BE$.

Δείτε τη λύση που μου έστειλε ο αγαπητός φίλος Φραγκάκης Νίκος (Doloros) από το 2ο Γ.Ε.Λ . Ιεράπετρας:

Οι διαγώνιοι των ορθογωνίων $BEFC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KJGH$ είναι ίσες, άρα $CF = HJ = FB$. Άμεσες συνέπειες:

Το τετράπλευρο $EJHC$ είναι ισοσκελές τραπέζιο , με $\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}}$ και αφού $\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_1}}$

Το τετράπλευρο $BJHF$ είναι παραλληλόγραμμο.

Θέτουμε: 

$BE = CF = KJ = HG = x$ και $HD = EJ = a$ , $FH = b\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DG = w$.

Η διάμεσος $MN$ του τραπεζίου $EJHC$ είναι 

$MN = \dfrac{{EJ + CH}}{2} = \dfrac{{a + x + b}}{2} = \dfrac{1}{2}$.

Επειδή όμως και το τετράπλευρο $MNHF$ είναι παραλληλόγραμμο θα είναι $b = FH = MN = \dfrac{1}{2}$, δηλαδή στο τρίγωνο $FKH$ η γωνία $\widehat {FKH} = 30^\circ $. Το ορθογώνιο τρίγωνο $DHG$ είναι του ιδίου «φυράματος» .

Είναι 

$BJ = a + x = $ $\dfrac{1}{2}$

οι πλευρές του ορθογωνίου αυτού τριγώνου $DHG$ είναι: 

$HG = x\,\,,\,\,w = DG = \dfrac{x}{2}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,HD = a = \dfrac{1}{2} - x$. 

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε: 

${x^2} = \dfrac{{{x^2}}}{4} + {(\dfrac{1}{2} - x)^2}$ 

και άρα έχουμε δεκτή ρίζα $\boxed{x = 2 - \sqrt 3 }$

Φραγκάκης Νίκος (Doloros) -2ο Γ.Ε.Λ . Ιεράπετρας