Σάββατο 26 Δεκεμβρίου 2015

Ωραία τρίγωνα

Ωραίο τρίγωνο ονομάζουμε ένα τρίγωνο για το οποίο ισχύουν:
i. το μήκος της κάθε πλευράς του είναι θετικός ακέραιος, και
ii. το εμβαδόν του είναι ίσο με την περίμετρο του.
Α) Βρείτε ένα ωραίο τρίγωνο το οποίο να είναι ορθογώνιο.
Β) Βρείτε ένα ωραίο τρίγωνο το οποίο να μην είναι ορθογώνιο.
Γ) Υπάρχει ωραίο τρίγωνο το οποίο να είναι ισοσκελές;

6 σχόλια:

  1. Για το $A)$
    Αν $b=k^2-m^2,c=2km,a=k^2+m^2$ τότε $a^2=b^2+c^2$
    ($k,m$ ακέραιοι αριθμοί.)

    Θέλουμε $\dfrac{bc}{2}=a+b+c \Rightarrow $

    $\dfrac{(k^2-m^2)\cdot 2km}{2}=$ $ k^2+m^2+ k^2-m^2+ 2km \Rightarrow$

    $(k+m)(k-m)km = 2k(k+m)\Rightarrow$ $m(k-m)=2 \Rightarrow$

    $k=3,m=1$ ή $k=3,m=2$

    οπότε $\boxed{a=10,b=6,c=8}$ ή $\boxed{a=13,b=12,c=5}$

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Καλή χρονιά σε όλους τους συντελεστές και φίλους του ιστολογίου!
    Πολύ ενδιαφέρον πρόβλημα, αριθμοθεωρίας θα έλεγα μάλλον παρά γεωμετρίας, και θα ήθελα να προσθέσω τα ακόλουθα στην πολύ όμορφη ανάλυση του Ευθύμη.
    Αν α,β,γ τα μήκη των τριών πλευρών ενός τριγώνου, το εμβαδόν του Ε, όπως προκύπτει από τον τύπο του Ήρωνα, είναι:
    Ε= √(α+β+γ)(β+γ-α)(α+γ-β)(α+β-γ)/4 και η περίμετρός του Π είναι Π=α+β+γ.
    Θέτοντας β+γ-α=κ, α+γ-β=λ, α+β-γ=μ και αθροίζοντας κ.μ. έχουμε α+β+γ=κ+λ+μ και με αντικαταστάσεις στους πιο πάνω τύπους και εξίσωση των Ε και Π, παίρνουμε τελικά:
    κλμ=16(κ+λ+μ) (1).
    Από τον τρόπο που ορίσαμε πιο πάνω τους κ,λ,μ προκύπτει ότι για οποιεσδήποτε θετικές ακέραιες τιμές των α,β,γ οι κ,λ,μ θα είναι ή και οι τρεις περιττοί ή και οι τρεις άρτιοι θετικοί ακέραιοι, λαμβάνοντας επίσης υπόψη ότι σε κάθε τρίγωνο το άθροισμα οποιωνδήποτε δύο πλευρών είναι μεγαλύτερο της τρίτης. Αφού όμως το γινόμενο κλμ βάσει της (1) είναι πολλαπλάσιο του 16, δηλαδή άρτιος, τότε αναγκαστικά οι κ,λ,μ θα είναι και οι τρεις άρτιοι.
    Αν θέσουμε λοιπόν στην (1) κ=2χ, λ=2ψ, μ=2ζ, αυτή γίνεται:
    χψζ=4(χ+ψ+ζ) => χ=4(ψ+ζ)/(ψζ-4) (2) και δεδομένου ότι οι χ,ψ,ζ είναι θετικοί , θα πρέπει ψζ>4
    Υποθέτουμε ΧΒΓ ότι χ≥ψ≥ζ => ψ+ζ ≤2χ, οπότε από τη (2) έχουμε:
    2χ=8(ψ+ζ)/(ψζ-4) => 2χ≤16χ/(ψζ-4) => 2(ψζ-4)≤16 => 2ψζ≤24 => ψζ≤12
    Καταλήξαμε λοιπόν ότι 4<ψζ≤12 και χ=4(ψ+ζ)/(ψζ-4) που είναι πλέον ένα εύκολα επιλύσιμο διοφαντικό σύστημα 2 εξισώσεων με 3 αγνώστους.
    Υπάρχουν 5 θετικές ακέραιες τριάδες (χ,ψ,ζ) που το ικανοποιούν και συγκεκριμένα οι:
    (χ,ψ,ζ) = (10,3,2), (6,4,2), (24,5,1), (14,6,1), (9,8,1)
    Οι αντίστοιχες τριάδες (κ,λ,μ) που προκύπτουν είναι οι:
    (κ,λ,μ) = (20,6,4), (12,8,4), (48,10,2), (28,12,2), (18,16,2)
    Από την επίλυση τώρα του συστήματος εξισώσεων β+γ-α=κ, α+γ-β=λ, α+β-γ=μ για κάθε τριάδα (κ,λ,μ) έχουμε τα μήκη των πλευρών των 5 μοναδικών όμορφων τριγώνων, σύμφωνα με τον ορισμό:
    (α,β,γ) = (5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20), (9,10,17)
    Από αυτά, τα 2 πρώτα είναι ορθογώνια και τα άλλα 3 είναι σκαληνά, κανένα ισοσκελές.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Καλή και ευλογημένη χρονιά Θανάση! Σε ευχαριστώ πολύ για τη συμμετοχή σου στο eisatopon. Δεν ξέρω σε τι ... ώμους πάτησες, με εντυπωσιάζει η μαθηματική σου σκέψη και το «κέφι» που σου κάνει να ασχολείσαι με τα προβλήματα. Εύχομαι με τέτοια προβλήματα μόνο να ασχολείσαι ...:)

      Διαγραφή
    2. Αγαπητέ Σωκράτη, είναι μεγάλη τιμή τα καλά σου λόγια και αυτή ανήκει φυσικά στους γίγαντες δασκάλους, παλιούς και καινούργιους, αυτούς που μας άνοιξαν τους ορίζοντες της σκέψης και της γνώσης, αλλά και όσους παρέχουν αφειδώς και ακούραστα τις ευκαιρίες για να τις ασκούμε και να τις οξύνουμε όλοι εμείς που αγαπάμε αυτή την τέχνη..
      Ευχαριστώ και εύχομαι από καρδιάς υγεία και δύναμη στους συνεργάτες σου και εσένα ξεχωριστά για να συνεχίσετε αυτό το σπουδαίο έργο!

      Διαγραφή
  3. Εγώ δεν τρώω το καλοπροαίρετο μετριόφρον παραμύθι του Θανάση περί "γιγάντων δασκάλων" και τα ρέστα...!
    Σύμφωνα με τις δικές μου έγκυρες πηγές ,έχει απλά κομπιούτερ με τετραπήρυνο επεξεργαστή στη θέση του εγκεφάλου. :-)
    Kαλή χρονιά!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Όσο κι αν δεν το τρως φίλε Γιώργη, αυτό το όμορφο όσο και διδακτικό παραμύθι ξέρεις ότι ξεκίνησε για εμένα εδώ στο eisatopon με τις μοναδικές δικές σου αναρτήσεις που, εκτός εμού, προσέλκυσαν και κράτησαν κοντά ένα εξαιρετικό κοινό εκλεκτών σχολιαστών. Μακάρι να έλθει γρήγορα ο καιρός να το ξαναζήσουμε όπως και πριν!
      Καλή χρονιά σε εσένα και την οικογένειά σου!

      Διαγραφή