Ένα τεστ περιλαμβάνει δέκα ερωτήσεις Σωστού - Λάθους. Αν απαντήσετε στην τύχη σε πέντε ερωτήσεις "ΣΩΣΤΟ" και σε πέντε ερωτήσεις "ΛΑΘΟΣ", θα έχετε απαντήσετε σε τέσσερις τουλάχιστον ερωτήσεις σωστά. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να συμβεί αυτό;
Harvard–MIT Mathematics Tournament (HMMT) 2005
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Ας υποθέσουμε ότι από τις 10 ερωτήσεις οι 2 ακριβώς έχουν σωστή απόντηση true και οι άλλες 8 έχουν σωστή απάντηση false. Σε μια τέτοια περίπτωση, αν απαντήσουμε true στις 5 από τις 8 τελευταίες και false στις υπόλοιπες 5, θα έχουμε 7 λάθος απαντήσεις και 3 μόνο σωστές. Το ίδιο ισχύει και στην περίπτωση που από τις 10 οι 2 ακριβώς έχουν σωστή απάντηση false και οι άλλες 8 σωστή απάντηση true. Με την ίδια λογική, γίνεται φανερό ότι σε κάθε περίπτωση που υπάρχουν από 2 έως 8 ερωτήσεις μεταξύ των 10 που απαντώνται όλες τους σωστά με true ή όλες τους σωστά με false και οι υπόλοιπες το αντίθετο, δεν υπάρχει εγγυημένη βεβαιότητα ότι θα δώσουμε 4 τουλάχιστον σωστές απαντήσεις.
ΑπάντησηΔιαγραφήΟι μόνες περιπτώσεις που αυτό είναι εγγυημένο είναι αν από τις 10 η μία ερώτηση το πολύ απαντιέται σωστά true ή false.
Υπάρχουν 2 τρόποι να έχουν όλες οι ερωτήσεις την ίδια σωστή απάντηση (true ή false) και 2*10=20 τρόποι να έχουν οι 9 από τις 10 την ίδια σωστή απάντηση και η 1 διαφορετική.
Σύνολο 2+20=22 τρόποι