Παρασκευή 13 Νοεμβρίου 2015

Βίοι παράλληλοι

Σημείο κινείται στην πλευρά του ισοσκελούς τριγώνου $ABC (AB = AC)$. Το τμήμα $SC$ έχει μέσο το σημείο και τέμνει το ύψος στο σημείο .
Η ευθεία τέμνει τη βάση στο σημείο . Δείξτε ότι:
  .

2 σχόλια:

  1. Φέρνουμε τη DM που τέμνει την AC στο σημείο E. Επειδή τα D και M είναι τα μέσα των τμημάτων BC και CS αντίστοιχα, η DM είναι παράλληλη στη BS, άρα και στην AB. Επομένως το E θα είναι μέσο της AC και AE/CE=1. Εφαρμόζω το θεώρημα Ceva στο τρίγωνο ACD για τις συντρέχουσες στο M ευθείες CT, DE και AL: (DT/AT)(AE/CE)(CL/DL)=1, ή DT/AT=DL/CL. Άρα οι TL και AC είναι παράλληλες. Όμως το πρόβλημα έχει έναν πλεονασμό: Δεν είναι απαραίτητο το τρίγωνο ABC να είναι ισοσκελές. Μπορεί να είναι οτιδήποτε, αρκεί η AD να είναι διάμεσος σε αυτό.

    ΑπάντησηΔιαγραφή