Σημείο κινείται στην πλευρά του ισοσκελούς τριγώνου $ABC (AB = AC)$. Το τμήμα $SC$ έχει μέσο το σημείο και τέμνει το ύψος στο σημείο .
Η ευθεία τέμνει τη βάση στο σημείο . Δείξτε ότι:
.
Algebra, Geometry, International Mathematical Olympiads, Recreational Mathematics, Math contests, Puzzles, Brainteasers, Number Theory, Combinatorics, Logic, Paradox
ΠΟΛΥ ΜΕΝΕΛΑΟΣ ΜΟΥ ΜΥΡΙΖΕΙ ΕΔΩ...
ΑπάντησηΔιαγραφήΦέρνουμε τη DM που τέμνει την AC στο σημείο E. Επειδή τα D και M είναι τα μέσα των τμημάτων BC και CS αντίστοιχα, η DM είναι παράλληλη στη BS, άρα και στην AB. Επομένως το E θα είναι μέσο της AC και AE/CE=1. Εφαρμόζω το θεώρημα Ceva στο τρίγωνο ACD για τις συντρέχουσες στο M ευθείες CT, DE και AL: (DT/AT)(AE/CE)(CL/DL)=1, ή DT/AT=DL/CL. Άρα οι TL και AC είναι παράλληλες. Όμως το πρόβλημα έχει έναν πλεονασμό: Δεν είναι απαραίτητο το τρίγωνο ABC να είναι ισοσκελές. Μπορεί να είναι οτιδήποτε, αρκεί η AD να είναι διάμεσος σε αυτό.
ΑπάντησηΔιαγραφή