Nα υπολογιστεί το πηλίκο:
$\displaystyle \dfrac{1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4} + \cdots + \dfrac{1}{99} – \dfrac{1}{100}}{\dfrac{1}{1+101}+ \dfrac{1}{2+102} + \cdots + \dfrac{1}{50+150}}$.
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Εκφράζουμε τον αριθμητή του κλάσματος ως διαφορά Σ1-Σ2, όπου Σ1=1+1/3+1/5+...+1/99 και Σ2=1/2+1/4+1/6+...+1/100.
ΑπάντησηΔιαγραφήΈχουμε:
2*Σ2 = 1+1/2+1/3+...+1/49+1/50 =
Σ1+Σ2-(1/51+1/52+...+1/100) =>
Σ2 = Σ1-(1/51+1/52+...+1/100) =>
Σ1-Σ2 = (1/51+1/52+...+1/100)
Ο παρονομαστής του κλάσματος είναι:
1/102+1/104+....+1/200 = 1/2*(1/51+1/52+...+1/100) =
1/2*(Σ1-Σ2).
Επομένως το κλάσμα είναι ίσο με (Σ1-Σ2)/[1/2*(Σ1-Σ2)] = 2.