Δευτέρα, 19 Οκτωβρίου 2015

Και κάτι σταθερό

Σε ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ φέρω τις εφαπτόμενες στα άκρα της, καθώς και σε ένα σημείο $S$, το οποίο κινείται επί του ημικυκλίου, η οποία τέμνει τις άλλες στα $C,D$. 
Η "κατακόρυφη" στο $S$ και η μεσοκάθετη του $CD$ τέμνονται στο σημείο $T$. Δείξτε ότι το τμήμα $MT$ έχει σταθερό μήκος.
Πηγή

18 σχόλια:

  1. Οι AD και BC είναι κάθετες στην AB, άρα είναι μεταξύ τους παράλληλες και το τετράπλευρο ABCD είναι τραπέζιο, εν γένει. Αν ονομάσουμε E το μέσο του τμήματος AB, τότε η ευθεία EM είναι παράλληλη στις AD και BC και επομένως κάθετη στην AB. Όμως και η ST είναι κάθετη στην AB, άρα και παράλληλη στην EM. Αν φέρουμε τώρα την ακτίνα ES, αυτή θα είναι κάθετη στην εφαπτομένη CD στο ημικύκλιο στο σημείο επαφής S, άρα και παράλληλη προς την MT. Τελικά προκύπτει ότι το τετράπλευρο EMTS είναι παραλληλόγραμμο, διότι έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες, οπότε η MT=ES, που έχει σταθερό μήκος ως ακτίνα του ημικυκλίου.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Επίσης αποδεικνύεται ότι ST=CM=DM. Όποιος θέλει ας το αποδείξει.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Μπράβο στο Φώτη για την ωραία απόδειξη. Για το πρόσθετο ερώτημα, συνοπτικά:
    DA=DS και CB=CS => DA+CB = DS+CS = DC => (DA+CB)/2 = DC/2 => ME = CM = DM => ST = CM = DM q.e.d.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Σας ευχαριστώ για τα καλά σας λόγια. Θα ήθελα να μου λύσετε μια απορία που έχω εδώ και λίγες ημέρες. Το άθροισμα δύο αλγεβρικών αριθμών είναι πάντα αλγεβρικός αριθμός;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Αρχικα θα πουμε οτι ενας μιγαδικος αριθμος ειναι αλγεβρικος αν υπαρχει πολυωνυμο με ρητους συντελεστες του οποιου ο αριθμος ειναι ριζα.Αποδεικνειεται οτι το συνολο των αλγεβρικων αριθμων αποτελει ενα υποσωμα του συνολου των μιγαδικων και επομενως το αθροισμα δυο αλγεβρικων αριθμων ειναι αλγεβρικος αριθμος.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Αν τώρα μας δώσουν έναν αλγεβρικό αριθμό, μπορούμε πάντα να κατασκευάσουμε ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές, το οποίο να έχει ως ρίζα το συγκεκριμένο αριθμό;

      Διαγραφή
    2. Η κατασκευή τέτοιου πολυωνύμου δεν είναι πάντα εύκολη. Υπάρχουν από όσο ξέρω υπολογιστικά προγράμματα που κάνουν τη δουλειά με χρήση ειδικών αλγορίθμων. Μπορεί όμως ευκολότερα να αποδειχθεί η ύπαρξη πολυωνύμου με ρητούς συντελεστές που έχει ρίζα δεδομένο αλγεβρικό αριθμό και αυτό είναι αρκετό για να αποδειχθεί ότι ένας αριθμός είναι αλγεβρικός. Μια καλή εισαγωγή στο θέμα υπάρχει σε αυτό το link:
      https://www.dpmms.cam.ac.uk/~wtg10/galois.html
      Επίσης, στο παρακάτω μπορεί κανείς να δει πώς, έχοντας δύο αλγεβρικούς αριθμούς και τα αντίστοιχα πολυώνυμα των οποίων είναι ρίζες, βρίσκει τα πολυώνυμα που έχουν ρίζες το άθροισμα ή το γινόμενο των δύο αριθμών:
      https://en.wikipedia.org/wiki/Resultant

      Διαγραφή
    3. Ποια είναι ακριβώς η σημασία του διαχωρισμού των αριθμών σε αλγεβρικούς και υπερβατικούς;

      Διαγραφή
  6. Κατά έναν τρόπο, αυτός ο διαχωρισμός συνδέεται και με την κατασκευασιμότητά ενός αριθμού με χρήση κανόνα και διαβήτη. Δεν είναι όλοι οι αλγεβρικοί κατασκευάσιμοι με κανόνα και διαβήτη, σίγουρα όμως δεν είναι κατασκευάσιμος κανένας υπερβατικός. Η απόδειξη για το ανέφικτο του τετραγωνισμού του κύκλου στον ευκλείδειο χώρο βασίστηκε ακριβώς στην απόδειξη ότι ο αριθμός π είναι υπερβατικός.
    Δεν εξαντλείται φυσικά η σημασία του διαχωρισμού στο παραπάνω, όπως υποψιάζομαι ότι δεν εξαντλούνται και τα ερωτήματα του Φώτη πάνω στο θέμα :-). Γι αυτό, θα προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, μια καλή άσκηση που βοηθάει πρακτικά στην κατανόηση της χρησιμότητας του διαχωρισμού (και ενδεχομένως και στη λύση του προβλήματος της χώρας).

    Σε ένα φανταστικό (?) μέλλον, μετά την έξοδο της χώρας από το ευρώ, η κυβέρνηση, λόγω έλλειψης εμπιστοσύνης στους οικονομολόγους, δίνει την εντολή σχεδιασμού της νέας δραχμής σε μια ομάδα διακεκριμένων μαθηματικών. Οι μαθηματικοί μετά από μελέτη του θέματος προτείνουν στην κυβέρνηση την έκδοση σειράς κερμάτων της 1 δραχμής και σειρών χαρτονομισμάτων άρρητων αξιών α^κ δραχμών, για κάποιον πραγματικό αριθμό α > 2 και κάθε θετικό ακέραιο κ.

    Η κυβέρνηση, προκειμένου να αποφασίσει για την πρόταση των μαθηματικών, αναθέτει σε εσάς την αξιολόγησή της, με μοναδικό κριτήριο τη δυνατότητα πραγματοποίησης συναλλαγών σε οποιαδήποτε αξία φυσικού αριθμού δραχμών, με χρήση 6 το πολύ κερμάτων ή χαρτονομισμάτων από ΚΑΘΕ σειρά.

    Τι λέτε, είναι εφικτό κάτι τέτοιο με βάση την πρόταση των μαθηματικών; Αν ναι πώς, αν όχι γιατί;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  7. Για την ακρίβεια, έχω ένα ακόμα, τελευταίο, ερώτημα. Μπορεί ένας μιγαδικός αριθμός να είναι αλγεβρικός όταν τουλάχιστον ένα από τα μέρη του, πραγματικό ή φανταστικό, είναι υπερβατικός αριθμός;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Εύκολο το όχι.
      Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει αλγεβρικός μιγαδικός ζ που έχει υπερβατικό πραγματικό μέρος. Αφού ο μιγαδικός μας είναι αλγεβρικός, θα υπάρχει πολυώνυμο με ρητούς συντελεστές του οποίου ο αριθμός ζ είναι ρίζα. Αλλά τότε ρίζα του ίδιου πολυωνύμου θα είναι και ο συζυγής του ζ μιγαδικός. Το άθροισμα των δύο μιγαδικών, ως άθροισμα δύο αλγεβρικών, θα πρέπει να είναι και αυτός αλγεβρικός. Αλλά το άθροισμα αυτό είναι πραγματικός ίσος με το διπλάσιο του πραγματικού μέρους του ζ. Καταλήγουμε δηλαδή ότι το πραγματικό μέρος του ζ είναι ταυτόχρονα υπερβατικός και αλγεβρικός. Άτοπο.
      Σε ανάλογο άτοπο καταλήγουμε αν υποθέσουμε υπάρχει αλγεβρικός μιγαδικός με υπερβατικό φανταστικό μέρος, αν πάρουμε τώρα τη διαφορά αντί για το άθροισμα.

      Διαγραφή
    2. Μάλιστα. Όσον αφορά τώρα το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου, έχουν υπάρξει κατά καιρούς ορισμένοι που ισχυρίζονται ότι το έχουν επιλύσει. Αυτοί τι θεωρούν για τη φύση του π; Ότι είναι κατασκευάσιμος αλγεβρικός αριθμός, όπως η τετραγωνική ρίζα του 2;

      Διαγραφή
    3. Μαθηματικό είναι το ερώτημά σου Φώτη ή μήπως 'δημοσιογραφικό'; Σε κάθε περίπτωση, είναι εκπρόθεσμο, αν ισχύει ότι το προηγούμενό σου ήταν το τελευταίο, όπως το είχες ο ίδιος ορίσει. Πες μας καλύτερα την άποψή σου στο θέμα, αν θες να τη συζητήσουμε.

      Διαγραφή
    4. Το ερώτημα είναι και λίγο της δημοσιογραφίας. Εγώ θεωρώ ότι τέτοιοι τύποι εκλαμβάνουν το π ως κατασκευάσιμη ποσότητα, άρα ως αλγεβρικό αριθμό. Όταν σπούδαζα στο ΕΜΠ, είχα διαβάσει μία "απόδειξη" ενός μηχανολόγου μηχανικού περί του θέματος. Εσείς τι γνώμη έχετε λοιπόν; Και επίσης, μπορώ να αναφέρω το όνομά του;

      Διαγραφή
    5. Αν καταλαβαίνω καλά, είσαι κι εσύ με το κατεστημένο :-). Η απόδειξη για την υπερβατική φύση, άρα τη μη κατασκευασιμότητα του π, με κανόνα και διαβήτη σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων, δόθηκε το 1882 από το Lindemann (ωχ! έγραψα το όνομά του χωρίς να ρωτήσω) και δεν μπορεί να αμφισβητηθεί. Μπορούμε όμως να φτάσουμε σε μια αυθαίρετα κοντινή προσέγγισή του π, σε πεπερασμένο πάντα αριθμό βημάτων. Μήπως αυτό απέδειξε ο μηχανολόγος του ΕΜΠ;

      Διαγραφή
    6. Όχι, αν θυμάμαι καλά, έφτασε στο συμπέρασμα με διάφορους περίεργους συλλογισμούς ότι το π είναι ρητός (!!!) αριθμός και μάλιστα έχει πεπερασμένο (!!!) πλήθος ψηφίων. Ο τύπος αυτός λέγεται Μόσχος Καραγκούνης και η "εργασία" του υπάρχει στο διαδίκτυο.

      Διαγραφή
  8. Βρείτε τώρα το γεωμετρικό τόπο του σημείου T καθώς μεταβάλλεται το C. Υπάρχει ένδειξη ότι μπορεί να είναι τμήμα υπερβολής. Είναι όμως;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Σε ορθοκανονικό σύστημα με αρχή το μέσο E του ΑΒ (δηλαδή το κέντρο του ημικυκλίου), άξονα ψ την κατακόρυφο στο Ε και άξονα χ την ΑΒ, αν φ είναι η γωνία SΕΒ, τότε οι συντεταγμένες του σημείου Τ είναι: χ=ρ*συνφ και ψ=ρ*(ημφ+1/ημφ), όπου ρ η σταθερή ακτίνα του ημικυκλίου. Αν χωρίς βλάβη της γενικότητας θέσουμε ρ=1, και εφαρμόσουμε την ταυτότητα (ημφ)^2+(συνφ)^2=1 καταλήγουμε στην εξίσωση ψ^2 = (χ^2-2)^2/(1-χ^2) για χ € (-1,1), η οποία είναι ο γ.τ. του σημείου Τ, καθώς το S μετακινείται πάνω στο ημικύκλιο. Η εξίσωση αυτή είναι τετάρτου βαθμού και δεν είναι υπερβολή, η οποία είναι εξίσωση δευτέρου βαθμού στο καρτεσιανό επίπεδο.

      Διαγραφή