Δευτέρα, 12 Οκτωβρίου 2015

Αναλογικά

Τα έγχρωμα τρίγωνα του σχήματος είναι ισόπλευρα.
α) Δείξτε ότι  
β) Βρείτε το λόγο  

1 σχόλιο:

  1. Θα το προσπαθήσω και ελπίζω να μην πήγε άδικα η επανάληψη της ύλης της Β' Λυκείου:

    α) Από την ομοιότητα των τριγώνων EQC με EAB ισχύει:
    QC/AB=EC/EB => QC/a=b/(a+b) => QC=ab/(a+b).
    Αντιστοίχως από την ομοιότητα των τριγώνων BPC με BDE:
    PC/DE=BC/BE => PC/b=a/(a+b) => PC=ab/(a+b).
    Επομένως QC=PC και δεδομένου ότι γ.PCQ=60°, το τρίγωνο CPQ είναι ισόπλευρο και γ.CPQ=60°=γ.BCP => PQ//BC =>PQ//BE ό.έ.δ.

    β) Τα τρίγωνα ACE και BCD είναι ίσα (Π-Γ-Π), επομένως:
    γ.CEA=γ.BDC και γ.CAE=γ.CBD, συνεπώς τα τετράπλευρα ASCB και SDEC είναι εγγράψιμα σε κύκλο.
    Έχουμε επομένως:
    SP*PB=AP*PC => SP*PB=[a-ab/(a+b)]*[ab/(a+b)] = a^3*b/(a+b)^2 (1) και
    SQ*QE=QD*QC => SQ*QE=[b-ab/(a+b)]*[ab/(a+b)] = a*b^3/(a+b)^2 (2)
    Με διαίρεση κ.μ. (2):(1) παίρνουμε:
    (SP*PB)/(SQ*QE) = a^2/b^2 => SP/SQ = (QE/PB)*(a^2/b^2).
    Τα τμήματα QE και PB, στα αντίστοιχα ισόπλευρα τρίγωνα ABC και DCE, είναι ομόλογα διότι χωρίζουν τις γωνίες ABC και CED αντιστοίχως σε δύο ίσα ζευγάρια γωνιών, αφού γ.CEQ=γ.CDP=γ.ABP και γ.QED=γ.CAQ=γ.PBC. Επομένως,
    QE/PB=b/a και τελικά SP/SQ = a/b.

    ΑπάντησηΔιαγραφή