Στο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο 
, φέραμε το ύψος 
, τη διχοτόμο της 
και την κάθετη προς τη διχοτόμο αυτή από το 
, η οποία τέμνει το μεν ύψος στο 
, την δε 
στο 
.
, φέραμε το ύψος , τη διχοτόμο της και την κάθετη προς τη διχοτόμο αυτή από το , η οποία τέμνει το μεν ύψος στο , την δε στο . 
Δείξτε ότι: 
.
.
Τα τρίγωνα ALS και ANS είναι ορθογώνια, έχουν την πλευρά AS κοινή και γωνία LAS=γωνία BAS=γωνία DAS=γωνία NAS. Άρα είναι ίσα, οπότε AL=AN. Επίσης τα ορθογώνια τρίγωνα BAD και CAD είναι ίσα, διότι έχουν την πλευρά AD κοινή και AB=AC. Επομένως BD=CD=BC/2, δηλαδή CD/BC=1/2. Εφαρμόζοντας τώρα το θεώρημα Μενελάου για το τρίγωνο ABD με τέμνουσα τη CL, παίρνω: (LB/AL)(AN/ND)(CD/BC)=1, ή (1/2)(LB/ND)=1, ή LB/ND=2, ή LB=2ND.
ΑπάντησηΔιαγραφή