Τρίτη, 6 Οκτωβρίου 2015

Τρία εμβαδά

Ένα σημείο Ρ επιλέγεται τυχαία στο εσωτερικό ισοπλεύρου τριγώνου $ABC$. 
Ποια είναι η πιθανότητα το εμβαδόν του τριγώνου $ABP$ να είναι μεγαλύτερο από το εμβαδόν του τριγώνου $ACP$ και του $BCP$;
2003 AMC 12A, Problem 16
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

3 σχόλια:

  1. Αν το τρίγωνο είναι απλά ισοσκελές, νομίζω ότι ο ακριβής αριθμητικά υπολογισμός της ζητούμενης πιθανότητας δεν είναι εφικτός χωρίς πρόσθετες πληροφορίες για τις σχέσεις πλευρών ή γωνιών.
    Αν όμως είναι ισόπλευρο, μία προσέγγιση θα μπορούσε να είναι η εξής: Το τρίγωνο μεγαλύτερου εμβαδού μεταξύ των τριών που ορίζει το σημείο Ρ με καθεμιά από τις πλευρές του τριγώνου είναι εκείνο στο οποίο η απόσταση του Ρ από την απέναντι πλευρά είναι μεγαλύτερη από τις αντίστοιχες αποστάσεις στα άλλα δύο τρίγωνα. Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο, οποιαδήποτε πλευρά έχει ακριβώς τις ίδιες πιθανότητες με οποιαδήποτε άλλη να βρίσκεται στην μεγαλύτερη μεταξύ των τριών απόσταση από ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο Ρ. Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι 1/3.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. papadim, το διόρθωσα. Ισόπλευρο είναι το τρίγωνο ....

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Ευχαριστώ! Πετάμε λοιπόν την πρώτη παράγραφο του προηγούμενου σχολίου μου. Ελπίζω ότι η δεύτερη δεν είναι κι αυτή για πέταμα :-).

      Διαγραφή