Τρίτη, 13 Οκτωβρίου 2015

Τραπέζι μπιλιάρδου

Ένα τραπέζι μπιλιάρδου έχει σχήμα ισοσκελούς τραπεζίου με διαστάσεις $1, 25, 49$, και $25$. 
Μια μπάλα διαμέτρου $1$ κυλίεται κατά μήκος της εσωτερικής γαλάζιας λωρίδας, εφαπτόμενη στην πλευρά/ες του τραπεζίου συνεχώς. Μετά από μια πλήρη περιστροφή γύρω από το τραπέζι, τι μήκος θα έχει διανύσει το κέντρο του κύκλου;
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

4 σχόλια:

  1. Ύψος εξωτερικού τραπεζίου: $\sqrt{25^2-24^2}=7$
    Ύψος εσωτερικού τραπεζίου: $7-1=6$
    Άρα η περίμετρος του εσωτερικού τραπεζίου (μήκος διαδρομής κέντρου του κύκλου) είναι:

    $\dfrac{6}{7}(49+25\cdot2+1)=\dfrac{600}{7}=85.714285715...$

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Νομίζω ότι το κέντρο της μπάλας θα διανύσει μήκος ίσο με το σύνολο της περιμέτρου μείον 4 τμήματα στις δυο κάτω γωνίες (τα 2 κατά μήκος των πλαγίων πλευρών και τα άλλα δύο κατά μήκος της κάτω βάσης, όπου δεν χωράει, διότι η εσωτερική κάθετος γίνεται μικρότερη της διαμέτρου της μπάλας 1 εκ.:
    2*25+1+49-2*(24/7+25/7) = 100-14=86 ακριβώς

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Δεν νομίζεις σωστά. Εκτός από τις $4$ εφαπτόμενες στις οξείες γωνίες κάτω $(4*3.5=14)$ πρέπει να αφαιρεθούν και οι $4$, μικρές μεν υπαρκτές δε, εφαπτόμενες στις δύο αμβλείες γωνίες πάνω καθώς η επαφή της μπάλας και του μπιλιάρδου δεν φτάνει μέχρι τις κορυφές των γωνιών. (Για να συνέβαινε αυτό θα έπρεπε οι γωνίες να είναι $180°$, δηλαδή το $1$ και τα $25$άρια τμήματα να είναι σε ευθεία γραμμή, αλλά δεν είναι...). Αφαιρώντας και αυτές τις $4$ μικρές και ίσες μεταξύ τους εφαπτόμενες θα έχει το ακριβές αποτέλεσμα.

      Διαγραφή
  3. Πείθομαι και αναθεωρώ: Το κέντρο της μπάλας βρίσκεται διαρκώς σε παράλληλη τροχιά και απόσταση ακτίνας (1/2) προς την εφαπτόμενη πλευρά (ή πλευρές) διανύοντας την περίμετρο τραπεζίου όμοιου με το μπιλιάρδο, με λόγο ομοιότητα το λόγο των υψών 6/7. Το σωστό λοιπόν είναι 6/7*100=600/7.

    ΑπάντησηΔιαγραφή