Σάββατο, 10 Οκτωβρίου 2015

1ο και 3ο ΛΥΚΕΙΟ ΓΙΑΝΝΙΤΣΩΝ - Η άσκηση της εβδομάδας (12 – 10 – 2015)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Οι καθηγητές του 1ου Λυκείου και 3ου Λυκείου Γιαννιτσών προτείνουν την άσκηση της εβδομάδας:

3 σχόλια:

  1. α. Εχουμε f(x) (f^2(x) + 1) = 2 e^x αρα f(x) (f^2(x) + 1) μεγαλυτερο γνησια του μηδενος. Αρα αφου η 2η παρενθεση ειναι γνησια θετικη αναγκαστικα θα ειναι κ η f(x) γιατι αν εστω για καποιο x ειχαμε f(x) =0 τοτε και το 2e^x=0 που ειναι ατοπο.
    β. Στη δοσμενη σχεση για x=0 εχουμε τελικα οτι f^3(0) + f(0) -2 =0
    Αυτο παραγοντοποιειται ως εξης (f(0) -1)(f^2(0) +f(0) +2)=0 .
    Η 2η παρενθεση εχει Δ αρνητικη αρα ειναι γν. θετικος επομενως η 1η παρενθεση θα ειναι 0 δλδ f(0) = 1.
    Τωρα επειδη η f ειναι και 1-1 η f θα τεμνει τον αξονα y μονο στο σημειο (0,1).
    Η f ειναι 1-1 διοτι για x1 και x2 στο R με f(x1)=f(x2) και f^3(x1)=f^3(x2) οποτε με προσθεση κατα μελη εχουμε οτι 2e^x1=2e^x2 αρα τελικα x1 =x2.
    γ. Η f ειναι γν. αυξουσα διοτι αφου για καθε x1 διαφορετικο του x2 ( η f ειναι 1-1)εχουμε και f(x1) διαφορετικο του f(x2) και επιπλεον αν για καποια x1,x2 στο R ισχυε οτι για x1 μικροτερο x2 τοτε f(x1) μεγαλυτερο f(x2) θα ειχαμε και f^3(x1) μεγαλυτερο του f^3(x2) δλδ 2e^x1 μεγαλυτερο του 2e^x2 δλδ x1μεγαλυτερο του x2 που ειναι ατοπο.
    δ. lnf(x) μεγαλυτερο ln1 αρα f(x) μεγαλυτερο 1 αρα f(x) μεγαλ. f(0) και επειδη f γν. αυξουσα x μεγαλυτερο του 0.
    ε.
    i) Αποδ. ευκολα κατασκευαστικα οτι αφου 3+2x1 μικροτερο 3+2x2 (για x1 μικροτερο του x2) απο μονοτονια f εχουμε οτι και f(3+2x1) μικροτερο της f(3+2x2).
    Ομοιως αποδ. οτι -f(3+2x1) μεγαλ. -f(3+2x2) οποτε προσθετοντας κατα μελη βγαινει οτι η g ειναι γν φθινουσα.
    ii) Χρησιμ. τη μονονια της f και της g καταληγουμε στην ανισωση x(x^2-4) μικροτερο του 0 που ισχυει για x ανηκει στο (-απειρο,-2) ενωση(0,2).

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Για τον αξονα y δεν χρειαζοταν το 1-1...

      Διαγραφή
    2. Επισης στη μονοτονια εχουμε οτι f(2-3x1) μεγαλ του f(2-3x2) η βιασυνη αυτα κανει...

      Διαγραφή