Τετάρτη, 9 Σεπτεμβρίου 2015

Μέγιστο εμβαδόν

Έστω ΑΒΓ τρίγωνο του οποίου οι κορυφές είναι σημεία του καρτεσιανού επιπέδου με ακέραιες συντεταγμένες. 
Αν δυο από τις πλευρές του έχουν μήκη από το σύνολο ${\sqrt{17}, \sqrt{1999},\sqrt{2000} }$, να βρείτε τη μέγιστη τιμή του εμβαδού του.
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 
Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ «Ευκλείδης» 2000
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

2 σχόλια:

  1. Από τους αριθμούς $\sqrt{17},\sqrt{1999},\sqrt{2000}$ o $\sqrt{1999}$ δεν αναλύεται σε άθροισμα δύο τετραγώνων ακεραίων αριθμών , μόνο οι $17=4^2+1^2$ και $2000=40^2+20^2$ ή $2000=44^2+8^24$. Οπότε οι δύο πλευρές είναι, ας πούμε, $AB=\sqrt{2000}, AC=\sqrt{17}$
    Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρώ $A(0,0)$, $C(4,1)$ ή $C(1,4)$,..., $C(-1,4)$ και $B(44,8)$ ή...
    Μέγιστο εμβαδόν δίνει ο συνδυασμός, ένας από τους ισοδύναμους -ισοεμβαδικούς, $A(0,0),B(-1,4) C(44,8)$ (το $(C(40,20),...$ δίνει μικρότερο εμβαδόν), οπότε $BC=\sqrt{(44-(-1))^2+(8-4)^2} =\sqrt{2041}$
    Από τον τύπο του Ήρωνα παίρνουμε $(ABC)_{max}=92$

    Με την επιφύλαξη της καλύτερης επιλογής, δεν το πολυ-έλεγξα γιατί πρέπει να φύγω...

    ΑπάντησηΔιαγραφή