Τρίτη, 22 Σεπτεμβρίου 2015

1ο ΛΥΚΕΙΟ ΓΙΑΝΝΙΤΣΩΝ - Η άσκηση της εβδομάδας (22 – 9 – 2015)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Οι καθηγητές του 1ου Λυκείου Γιαννιτσών προτείνουν την άσκηση της εβδομάδας:

4 σχόλια:

  1. α) Αν η f δεν ήταν 1-1, θα έπρεπε να υπάρχει τιμή f που είναι εικόνα δύο διαφορετικών στοιχείων του συνόλου ορισμού, θα υπήρχαν δηλαδή στοιχεία α, β του συνόλου ορισμού, με α#β και f(α)=f(β). Αφού όμως f(f(x))=x για κάθε χ€R, τότε f(f(α))=α και f(f(β)=β και αφού f(α)=f(β), θα έπρεπε και f(f(α))=f(f(β)) => α=β. Αντίφαση.

    β) g(f(x)=e^f(f(x))+e^f(x) => g(f(x)=e^x+e^f(x), οπότε η εξίσωση γράφεται:
    e^x+e^f(x) = e^x+e => e^f(x) = e =>f(x)=1 => x=3

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Φώτη καλησπέρα.
    Το αν είναι πιο εύκολος ή πιο δύσκολος ένας τρόπος λύσης πολλές φορές είναι θέμα υποκειμενικό .
    Το συγκεκριμένο πρώτο ερώτημα από μεν τον $Papadim$ λύθηκε με βάσει το ορισμό και κατέληξε σε άτοπο ενώ από σένα με βάσει το θεώρημα που έπεται του ορισμού .

    Νίκος

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Αφού συμφωνήσω με τις παρατηρήσεις των φίλων, θα πρότεινα ως ερώτημα γ) της άσκησης την επίλυση της εξίσωσης:
    g(f(x)) = e^x+e^3

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Η λύση της εβδομάδας!! (με την άδεια του 1ου Λυκείου Γιαννιτσών)
      Γενικότερα, αν f(x1)=x2, εφόσον και f(f(x1))=x1 => f(x2)=x1, δηλαδή η f είναι αντιστρέψιμη (να ακόμα μία ακόμα απόδειξη, μέσω άλλου θεωρήματος, ότι είναι 1-1). Και μάλιστα, καθώς η αντίστροφη της f είναι η ίδια η f, η f είναι αυτοαντίστροφη.

      Διαγραφή