Μέγιστη απόσταση

Πηγή: Περιοδικό «Μαθηματική Έκφραση»

Ο αγαπητός φίλος Νίκος Φραγκάκης μου έστειλε τη δική του λύση. Δείτε την παρακάτω: 

Η οικογένεια ευθειών $({\varepsilon _a})$ γράφεται,

$a(x - 2y + 3) + (2x + y - 4) = 0\,\,,a \in \mathbb{R}$.

Για να ισχύει η σχέση για κάθε $a \in \mathbb{R}$ πρέπει και αρκεί να υπάρχουν $x\,\,,y$ για τα οποία ταυτόχρονα,

$x - 2y + 3 = 0\,\,\kappa \alpha \iota \,\,2x + y - 4 = 0$. 

Απ’  όπου $(x,y) = (1,2)$.

Άρα όλες οι ευθείες διέρχονται από το σημείο  $S(1,2)$. Η απόσταση $OK$  της αρχής από μια τυχαία ευθεία της οικογένειας  έχει την ιδιότητα : $OK \leqslant OS$ και κατά συνέπεια η ζητούμενη θα είναι η κάθετη στο $S$ επί την $OS$, δηλαδή θα έχει εξίσωση,

$y - 2 =  - \dfrac{1}{2}(x - 1) \Leftrightarrow \boxed{x + 2y - 5 = 0}$.

Νίκος Φραγκάκης  (Doloros)
2^ο Γενικό Λύκειο Ιεράπετρας